Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a derivada de $ y = \arctan\left(\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}\right) $. Estamos lidando com funções trigonométricas e derivadas, então vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função arco-tangente é:
Aqui, $ u = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} $. Então, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Passo 3
Para derivar $ u = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} $, vamos usar a regra do quociente, que diz:
Aqui, $ f = 1 - \cos x $ e $ g = 1 + \cos x $.
Passo 4
Calculando as derivadas de $ f $ e $ g $:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 6
Agora, voltamos à derivada de $ y $:
Passo 7
Vamos simplificar o denominador:
Calculando as potências:
Então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de $ y’ $:
Resposta
A derivada de $ y $ é: