Determine y^prime
y=arctg(1-cos x1+cos x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a derivada de $ y = \arctan\left(\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}\right) $. Estamos lidando com funções trigonométricas e derivadas, então vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função arco-tangente é:
ddx arctan(u) = u'1 + u^2
Aqui, $ u = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} $. Então, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $.

Passo 3

Para derivar $ u = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} $, vamos usar a regra do quociente, que diz:
u = 1 - cos x1 + cos x
Aqui, $ f = 1 - \cos x $ e $ g = 1 + \cos x $.

Passo 4

Calculando as derivadas de $ f $ e $ g $:
f
g

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
u' = f'g - fg'g^2 = (sin x)(1 + cos x) - (1 - cos x)(-sin x)(1 + cos x)^2
Simplificando o numerador:
(sin x)(1 + cos x) + (sin x)(1 - cos x) = sin x (1 + cos x + 1 - cos x) = sin x cdot 2 = 2sin x
Então:
u' = 2sin x(1 + cos x)^2

Passo 6

Agora, voltamos à derivada de $ y $:
y

Passo 7

Vamos simplificar o denominador:
1 + (1 - cos x1 + cos x)^2 = (1 + cos x)^2 + (1 - cos x)^2(1 + cos x)^2
Calculando as potências:
(1 + cos x)^2 + (1 - cos x)^2 = 1 + 2cos x + cos^2 x + 1 - 2cos x + cos^2 x = 2 + 2cos^2 x
Então:
1 + (1 - cos x1 + cos x)^2 = 2 + 2cos^2 x(1 + cos x)^2

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de $ y’ $:
y'

Resposta

A derivada de $ y $ é:
y

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