Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=ln (n+1)-ln (n)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an=ln(n+1)-ln(n), e o objetivo é investigar se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo principal aqui é limite de sequência e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Lembrando da propriedade de logaritmo que diz ln A - ln B = lnl(ABr), podemos reescrever an de forma mais simples. Aplicando essa propriedade temos
an = ln(n+1)-ln(n)=lnl(n+1nr)=lnl(1+1nr)

Passo 3

Agora, para estudar o limite, usamos que quando ntoinfty vale 1nto0 e a função ln(1+x) é contínua em x=0. Então podemos passar o limite para dentro do logaritmo:
limntoinftyan=limntoinftylnl(1+1nr)=lnl(1+limntoinfty1nr)=ln(1+0)=ln(1)

Passo 4

Como ln(1)=0, concluímos que a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

0

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