Calcule as seguintes integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integração tripla juntos! A gente tem a integral
Isso significa que vamos integrar a função $ x $ sobre uma região definida pelos limites de $ x $, $ y $ e $ z $. Para resolver isso, vamos integrar uma variável de cada vez, começando por $ z $, depois $ y $ e por último $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $. A integral interna é:
Como $ x $ é constante em relação a $ z $, a gente pode tirar ele da integral:
Agora, integrar $ dz $ de $ 2y $ até $ 1 + y^2 $ é simplesmente:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar isso em relação a $ y $:
Vamos distribuir o $ x $:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
-
x integral0^1-x (1 + y^2 - 2y) , dy -
x [ integral0^1-x 1 , dy + integral0^1-x y^2 , dy - 2 integral0^1-x y , dy ] -
integral0^1-x 1 , dy = y |0^1-x = 1 - x
Substituindo de volta:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
Explicando cada termo:
-
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 -
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Substituindo:
Vamos detalhar:
Agrupando termos semelhantes:
Então, a expressão ficou:
Passo 5
Agora, vamos integrar isso em relação a $ x $:
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
-
13 ( integral0^1 x , dx - integral0^1 x^4 , dx ) -
integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12
Substituindo de volta: