Calcule as seguintes integrais
integral0^1 integral0^1-x integral2 y^1+y^2 x d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração tripla juntos! A gente tem a integral
integral0^1 integral0^1-x integral2 y^1+y^2 x , dz , dy , dx
Isso significa que vamos integrar a função $ x $ sobre uma região definida pelos limites de $ x $, $ y $ e $ z $. Para resolver isso, vamos integrar uma variável de cada vez, começando por $ z $, depois $ y $ e por último $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $. A integral interna é:
z
Como $ x $ é constante em relação a $ z $, a gente pode tirar ele da integral:
integral2 y^1+y^2 x , dz
Agora, integrar $ dz $ de $ 2y $ até $ 1 + y^2 $ é simplesmente:
x
Então, a integral fica:
z

Passo 3

Agora, vamos integrar isso em relação a $ y $:
y
Vamos distribuir o $ x $:
integral0^1-x x (1 + y^2 - 2y) , dy
Agora, vamos integrar termo a termo:
x
Calculando cada integral:
  1. x integral0^1-x (1 + y^2 - 2y) , dy
  2. x [ integral0^1-x 1 , dy + integral0^1-x y^2 , dy - 2 integral0^1-x y , dy ]
  3. integral0^1-x 1 , dy = y |0^1-x = 1 - x
Substituindo de volta:
integral0^1-x y^2 , dy = y^33 |0^1-x = (1 - x)^33

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
(1 - x) + (1 - x)^33 - (1 - x)^2
Explicando cada termo:
  • (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
  • (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Substituindo:
(1 - x) + 1 - 3x + 3x^2 - x^33 - (1 - 2x + x^2)
Vamos detalhar:
= 1 - x + 13 - x + x^2 - x^33 - 1 + 2x - x^2
Agrupando termos semelhantes:
= (1 + 13 -1) + (-x -x +2x) + (x^2 -x^2) - x^33
= 13 - x^33
Então, a expressão ficou:
x ( 1 - x^33 )
= x(1 - x^3)3

Passo 5

Agora, vamos integrar isso em relação a $ x $:
x
Integrando termo a termo:
integral0^1 x(1 - x^3)3 , dx = 13 integral0^1 (x - x^4) , dx
Calculando cada integral:
  1. 13 ( integral0^1 x , dx - integral0^1 x^4 , dx )
  2. integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12
Substituindo de volta:
integral0^1 x^4 , dx = x^55 |0^1 = 15

Resposta

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