Questão 3) (Valor: 3,5 pontos) Calcule os limites a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de uma fração quando $ x $ se aproxima de 1. A matéria aqui é de Cálculo de Limites, e vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente fatoração de polinômios, para simplificar a expressão e encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ x = 1 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a fração para resolver o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador. Vamos lembrar que $ a^{n} - b^{n} $ pode ser fatorado como $ (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1}) $.
Aplicando isso ao numerador $ x^{7} - 1 $:
E ao denominador $ x^{4} - 1 $:
Passo 4
Agora, substituímos as fatorações na fração original:
Perceba que o termo $ (x - 1) $ aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificá-lo:
Passo 5
Agora que simplificamos, podemos calcular o limite substituindo $ x = 1 $ na expressão simplificada:
Resposta
O limite é $ \frac{7}{4} $.