Questão 3) (Valor: 3,5 pontos) Calcule os limites a seguir.
lim x 1 x^7-1x^4-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de uma fração quando $ x $ se aproxima de 1. A matéria aqui é de Cálculo de Limites, e vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente fatoração de polinômios, para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ x = 1 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
x = 1
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a fração para resolver o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador. Vamos lembrar que $ a^{n} - b^{n} $ pode ser fatorado como $ (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1}) $.
Aplicando isso ao numerador $ x^{7} - 1 $:
a^n - b^n
E ao denominador $ x^{4} - 1 $:
(a - b)(a^n-1 + a^n-2b + dots + ab^n-2 + b^n-1)

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na fração original:
x^7 - 1x^4 - 1 = (x - 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)
Perceba que o termo $ (x - 1) $ aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificá-lo:
(x - 1)

Passo 5

Agora que simplificamos, podemos calcular o limite substituindo $ x = 1 $ na expressão simplificada:
x = 1

Resposta

O limite é $ \frac{7}{4} $.

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