Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 até 2 de x³√(x²+4) dx. Vamos usar uma substituição simples para transformar essa integral numa potência de u.
Passo 2
Fazendo a substituição u = x² + 4, temos du = 2x dx, ou seja, x dx = du/2. Também escrevemos x³ dx = x²·x dx = (u – 4)·(du/2).
Quando x varia de 0 a 2, u varia de u(0)=4 até u(2)=8. Logo,
Quando x varia de 0 a 2, u varia de u(0)=4 até u(2)=8. Logo,
[
\int_{0}^{2} x{3}\sqrt{x{2}+4},dx = \frac12 \int_{4}^{8} (u - 4)u^{1/2},du = \frac12 \int_{4}^{8} \bigl(u^{3/2} - 4u^{1/2}\bigr),du.
\int_{0}^{2} x{3}\sqrt{x{2}+4},dx = \frac12 \int_{4}^{8} (u - 4)u^{1/2},du = \frac12 \int_{4}^{8} \bigl(u^{3/2} - 4u^{1/2}\bigr),du.
Passo 3
Agora integramos termo a termo:
Multiplicando por 1/2, obtemos a antiderivada
Passo 4
Avalia-se F(u) de 4 a 8: em u=8, u^{5/2}=128√2 e u^{3/2}=16√2; em u=4, u^{5/2}=32 e u^{3/2}=8. Substituindo e simplificando, chegamos a (64/15)(√2+1).