Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral definida de $ x + 2x^{2} $ no intervalo de 0 a 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre integrais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a antiderivada (isto é, a função primitiva) e depois avaliar essa antiderivada nos limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma soma é a soma das integrais. Então, podemos separar a integral em duas partes:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Começando com o primeiro termo $ \int x , dx $:
A antiderivada de $ x $ é $ \frac{1}{2}x^{2} $. Isso porque, em geral, a integral de $ x^{n} $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, onde $ n \neq -1 $.
A antiderivada de $ x $ é $ \frac{1}{2}x^{2} $. Isso porque, em geral, a integral de $ x^{n} $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, onde $ n \neq -1 $.
Passo 4
Para o segundo termo $ \int 2x^{2} , dx $, podemos tirar o 2 como constante:
A antiderivada de $ x^{2} $ é $ \frac{1}{3}x^{3} $, então multiplicando pelo 2, temos $ \frac{2}{3}x^{3} $.
Passo 5
Agora, juntamos as antiderivadas dos dois termos:
Essa é a antiderivada da função $ x + 2x^{2} $.
Passo 6
Em seguida, aplicamos o teorema fundamental do cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 1:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
Então, fica:
Passo 8
Para somar $ \frac{1}{2} $ e $ \frac{2}{3} $, precisamos de denominadores iguais. O mínimo múltiplo comum de 2 e 3 é 6:
Então:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{7}{6} $.