Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 x+2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral definida de $ x + 2x^{2} $ no intervalo de 0 a 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre integrais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a antiderivada (isto é, a função primitiva) e depois avaliar essa antiderivada nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma soma é a soma das integrais. Então, podemos separar a integral em duas partes:
integral0^1 x , dx + integral0^1 2x^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Começando com o primeiro termo $ \int x , dx $:
A antiderivada de $ x $ é $ \frac{1}{2}x^{2} $. Isso porque, em geral, a integral de $ x^{n} $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, onde $ n \neq -1 $.

Passo 4

Para o segundo termo $ \int 2x^{2} , dx $, podemos tirar o 2 como constante:
integral 2x^2 , dx
A antiderivada de $ x^{2} $ é $ \frac{1}{3}x^{3} $, então multiplicando pelo 2, temos $ \frac{2}{3}x^{3} $.

Passo 5

Agora, juntamos as antiderivadas dos dois termos:
12x^2 + 23x^3
Essa é a antiderivada da função $ x + 2x^{2} $.

Passo 6

Em seguida, aplicamos o teorema fundamental do cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 1:
( 12(1)^2 + 23(1)^3 ) - ( 12(0)^2 + 23(0)^3 )

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
12(1)^2 = 12 23(1)^3 = 23 12(0)^2 = 0 23(0)^3 = 0
Então, fica:
12 + 23 - 0 = 12 + 23

Passo 8

Para somar $ \frac{1}{2} $ e $ \frac{2}{3} $, precisamos de denominadores iguais. O mínimo múltiplo comum de 2 e 3 é 6:
12
Então:
23

Resposta

O valor da integral é $ \frac{7}{6} $.

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