A função gama é denotada por Gamma(p) e definida pela integral
Gamma(p+1)=integral0^infty e^-x x^p d x
Esta integral converge quando x infty, forall p in R. Sobre está função responda as questões a seguir:
Mostre que Gamma(1 / 2)=raizpi.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que a função gama avaliada em 1/2, dada por Gamma(1/2)=integral0^inftye^-xx^-1/2,dx, é igual a raizpi. Vamos precisar usar uma substituição de variável e o valor da integral de Gauss.

Passo 2

Escrevemos Gamma(1/2) na forma de integral imprópria:
Gamma(1/2)=integral0^inftye^-xx^-1/2,dx

Passo 3

Fazemos a substituição de variável
x = t^2,
então
t=raizx,
com limites
x=0to t=0 e
xtoinftyto ttoinfty,
e
dx = 2t,dt.

Passo 4

Substituindo na integral, o integrando fica
e^-xx^-1/2dx = e^-t^2(t^2)^-1/2cdot2t,dt = 2e^-t^2,dt.
Logo
Gamma(1/2)=2integral0^inftye^-t^2,dt

Passo 5

Reconhecemos a integral de Gauss
integral0^inftye^-t^2,dt=raizpi2.
Substituindo de volta, obtemos
Gamma(1/2)=2cdotraizpi2=raizpi

Resposta

raizpi

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