A função gama é denotada por
e definida pela integral
Esta integral converge quando
. Sobre está função responda as questões a seguir:
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que a função gama avaliada em
, dada por
, é igual a
. Vamos precisar usar uma substituição de variável e o valor da integral de Gauss.
Passo 2
Escrevemos
na forma de integral imprópria:
Passo 3
Fazemos a substituição de variável
,
então
,
com limites
e
,
e
.
então
com limites
e
Passo 4
Substituindo na integral, o integrando fica
.
Logo
Logo
Passo 5
Reconhecemos a integral de Gauss
.
Substituindo de volta, obtemos
Substituindo de volta, obtemos