Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
f(x)=x e^-x^2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de f(x)=x e{-x2}. O conteúdo é transformada de Fourier e vamos usar a transformada conhecida da gaussiana e a propriedade de multiplicar por x no domínio do tempo correspondendo a derivada no domínio da frequência.

Passo 2

A transformada de Fourier da gaussiana e{-x2} é dada por
Fe^-x^2(omega)=integral-infty^inftye^-x^2e^-iomega x,dx=raizpi,e^-omega^2/4

Passo 3

Para usar a propriedade operacional, lembramos que multiplicar por x no domínio do tempo equivale a i vezes derivar em relação a ω no domínio da frequência. Ou seja,
Fx f(x)(omega)=i,ddomegaFf(x)(omega)

Passo 4

Aplicando essa propriedade com f(x)=e{-x2}, temos
Fx e^-x^2(omega)=i,ddomegal(raizpi,e^-omega^2/4r)

Passo 5

Basta calcular a derivada:
ddomegal(raizpi,e^-omega^2/4r)=raizpi,l(-omega2r),e^-omega^2/4=-omegaraizpi2e^-omega^2/4
Multiplicando por i concluímos a transformada.

Resposta

Fx e^-x^2(omega)=-i,omegaraizpi2,e^-omega^2/4

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