Calcule as seguintes integrais:
integral1^2 1raiz(6-x^2)^3 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral1^2 1raizl(6 - x^2r)^3,dx
O conteúdo aqui é o uso de substituição trigonométrica para integrais da forma integral (a^2-x^2)^-3/2dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = raiz6,sintheta,
de modo que
dx = raiz6,costheta,dtheta e 6 - x^2 = 6 - 6sin^2theta = 6cos^2theta

Passo 3

No integrando temos
(6 - x^2)^3/2 = l(6cos^2thetar)^3/2 = 6^3/2,cos^3theta = 6raiz6,cos^3theta
Então
dx(6 - x^2)^3/2 = raiz6,costheta,dtheta6raiz6,cos^3theta = 16,1cos^2theta,dtheta = 16sec^2theta,dtheta

Passo 4

A integral em theta fica
I = 16integral sec^2theta,dtheta = 16tantheta + C

Passo 5

Voltando a x, temos
tantheta = sinthetacostheta = x/raiz6raiz(6-x^2)/6 = xraiz6 - x^2
Nos limites x=1 e x=2:
tanthetal|1 = 1raiz6-1 = 1raiz5, tanthetal|2 = 2raiz6-4 = 2raiz2 = raiz2
Logo
I = 16l(tanthetal|2 - tanthetal|1r) = 16l(raiz2 - 1raiz5r)

Resposta

integral1^2 1raizl(6 - x^2r)^3,dx = 16l(raiz2 - 1raiz5r)

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