Encontre os valores de x que satisfazem a desigualdade dada
|sen(x)-1|<12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|sin(x)-1|<tfrac12
O conteúdo envolvido é manipulação de desigualdades com valor absoluto e solução de inequação trigonométrica. Vamos primeiro transformar o valor absoluto numa dupla desigualdade e depois resolver para sin(x).

Passo 2

Usamos a definição de valor absoluto:
|sin(x)-1|<tfrac12Long<=ftrightarrow -tfrac12<sin(x)-1<tfrac12
Agora somamos 1 a todos os termos:
-tfrac12+1<sin(x)<tfrac12+1Long<=ftrightarrow tfrac12<sin(x)<tfrac32

Passo 3

Observamos que sin(x) nunca ultrapassa 1. Ou seja, a parte sin(x)<tfrac32 é sempre verdadeira. Logo a desigualdade se reduz a
sin(x)>tfrac12

Passo 4

Para sin(x)>tfrac12, o arco principal que satisfaz sin(x)=tfrac12 é
arcsinl(tfrac12r)=tfracpi6
No círculo unitário, sin(x) fica maior que tfrac12 exatamente entre tfracpi6 e tfrac5pi6 no primeiro período 0<= x<2pi.

Passo 5

Incorporando a periodicidade de 2pi, a solução geral é
xinl(tfracpi6+2kpi,;tfrac5pi6+2kpir),
onde k é qualquer inteiro.

Resposta

xinl(tfracpi6+2kpi,;tfrac5pi6+2kpir), kinZ.

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