Calcule as seguintes integrais.
integral1^4-1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral1^4 -1x^2 , dx.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais definidas, que envolvem encontrar a área sob a curva de uma função entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a antiderivada de funções simples e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que vamos integrar: -1x^2.
Lembre-se que dividir por x^2 é a mesma coisa que multiplicar por x^-2. Então, podemos reescrever a função assim:
-1x^2 = -x^-2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de -x^-2.
A regra para integrar funções da forma x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde $n neq -1$)
Aplicando essa regra:
integral -x^-2 , dx = - integral x^-2 , dx = -( x^-2 + 1-2 + 1 ) + C = -( x^-1-1 ) + C
Simplificando:
- ( -x^-1 ) + C = x^-1 + C = 1x + C
Então, a antiderivada de -1x^2 é 1x.

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida entre 1 e 4.
O teorema diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde F(x) é a antiderivada de f(x).
Aplicando isso:
integral1^4 -1x^2 , dx = [ 1x ]1^4 = 14 - 11

Resposta

integral1^4 -1x^2 , dx = 14 - 1 = -34

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