Resolva as EDO de Cauchy-Euler usando variação dos parâmetros:
x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler que é assim:
x^2 y^prime prime - 4 x y^prime + 6 y = 1x
A matéria que a gente vai usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente as de Cauchy-Euler. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a equação completa usando a variação dos parâmetros. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
x^2 y^prime prime - 4 x y^prime + 6 y = 0
Nas equações de Cauchy-Euler, fazemos a substituição y' = r x^r-1 , onde y'' = r (r - 1) x^r-2 é um número que vamos determinar. Vamos derivar:
x^2 cdot r (r - 1) x^r-2 - 4x cdot r x^r-1 + 6 x^r = 0
r (r - 1) x^r - 4 r x^r + 6 x^r = 0
Substituindo na equação homogênea:
x^r [r (r - 1) - 4r + 6] = 0
Simplificando os termos:
r^2 - r - 4r + 6 = 0
Fatorando r^2 - 5r + 6 = 0 :
r = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Como nunca é zero, temos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^3 + C2 x^2
Agora, precisamos encontrar uma solução particular y = yh + yp para a equação completa usando a variação dos parâmetros. Sabemos que a solução geral será:

Passo 4

Para aplicar a variação dos parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea e calcular as derivadas necessárias. Vamos considerar:
y1 = x^3, y2 = x^2
As derivadas são:
y1' = 3x^2, y1'' = 6x
y2' = 2x, y2'' = 2
Usamos a fórmula da variação dos parâmetros para encontrar yp = u1 y1 + u2 y2 :
u1' = -y2 g(x)W, u2' = y1 g(x)W
Onde W = y1 y2' - y2 y1' = x^3 cdot 2x - x^2 cdot 3x^2 = 2x^4 - 3x^4 = -x^4 e u1' = -x^2 cdot 1x-x^4 = xx^4 = 1x^3 são funções que vamos determinar. As fórmulas para u2' = x^3 cdot 1x-x^4 = x^2-x^4 = -1x^2 e u1 = integral 1x^3 dx = -12x^2 + C são:
u2 = integral -1x^2 dx = 1x + C
Aqui, yp = u1 y1 + u2 y2 = -12x^2 cdot x^3 + 1x cdot x^2 = -x2 + x = x2 e é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Então,
Integrando para encontrar e :
Desconsiderando as constantes de integração (já que serão absorvidas na solução geral), temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 x^3 + C2 x^2 + x2
Onde e são constantes arbitrárias.

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