Resolva as EDO de Cauchy-Euler usando variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler que é assim:
A matéria que a gente vai usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente as de Cauchy-Euler. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a equação completa usando a variação dos parâmetros. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Nas equações de Cauchy-Euler, fazemos a substituição
, onde
é um número que vamos determinar. Vamos derivar:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando os termos:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando a variação dos parâmetros. Sabemos que a solução geral será:
Passo 4
Para aplicar a variação dos parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea e calcular as derivadas necessárias. Vamos considerar:
As derivadas são:
Usamos a fórmula da variação dos parâmetros para encontrar
:
Onde
e
são funções que vamos determinar. As fórmulas para
e
são:
Aqui,
e
é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Então,
Integrando para encontrar
e
:
Desconsiderando as constantes de integração (já que serão absorvidas na solução geral), temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.