Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^prime prime+y^prime+54 y=t-upi / 2(t)(t-pi / 2), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando transformada de Laplace na equação y''+y'+tfrac54y = t - upi/2(t)(t-pi/2) com condições y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar as propriedades de Laplace para derivadas, o teorema do escalonamento (para o degrau unitário) e tabelas de transformadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Chamando Y(s)=Ly(t), temos
Ly''+Ly'+tfrac54Ly = Lt - Lupi/2(t)(t-pi/2)

Passo 3

Pelas fórmulas de derivada: Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0) e Ly'=sY(s)-y(0). Com y(0)=y'(0)=0 isso dá
(s^2+s+tfrac54)Y(s) = Lt - e^-pi s2L(t-pi/2)

Passo 4

Como Lt=1/s^2 e pelo teorema do salto Lua(t)f(t-a)=e^-asF(s) com F(s)=1/s^2, obtemos
(s^2+s+tfrac54)Y(s)=1s^2-e^-pi s2s^2

Passo 5

Isolando Y(s) e observando que s^2+s+5/4=(s+1/2)^2+1,
Y(s)=1-e^-pi s2s^2l((s+tfrac12)^2+1r) = Y1(s)-e^-pi s2Y1(s),

Passo 6

com Y1(s)=1/l[s^2((s+1/2)^2+1)r]. Assim
y(t)=y1(t)-upi/2(t),y1(t-pi/2)

Passo 7

Para achar y1(t) fazemos frações parciais em Y1(s): supomos
1s^2((s+1/2)^2+1)=As+B(s+1/2)^2+1+Cs+Ds^2

Passo 8

Resolvendo para A,B,C,D A=16/25,;B=-4/25,;C=-16/25,;D=4/5. Invertendo cada termo e usando L^-1(s+1/2)/((s+1/2)^2+1)=e^-t/2cos t e L^-11/((s+1/2)^2+1)=e^-t/2sin t, obtemos
$$y_1(t)=\frac{4}{5}t-\frac{16}{25}+e^{-t/2}\Bigl(\frac{16}{25}\cos t-\frac{12}{25}\sin t\Bigr).
$$

Passo 9

Portanto a solução completa é dada por y(t)=y1(t)-upi/2(t)y1(t-pi/2), isto é para t vale y(t)=y1(t) e para t>=pi/2 vale y(t)=y1(t)-y1(t-pi/2).

Resposta

y(t)=45t-1625+e^-t/2l(1625cos t-1225sin tr) - upi/2(t)gl[45(t-tfracpi2)-1625+e^-t-pi/22l(1625cos(t-tfracpi2)-1225sin(t-tfracpi2)r)gr]

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