Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando transformada de Laplace na equação
com condições
e
. Vamos usar as propriedades de Laplace para derivadas, o teorema do escalonamento (para o degrau unitário) e tabelas de transformadas.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Chamando
, temos
Passo 3
Pelas fórmulas de derivada:
e
. Com
isso dá
Passo 4
Como
e pelo teorema do salto
com
, obtemos
Passo 5
Isolando
e observando que
,
Passo 6
com
. Assim
Passo 7
Para achar
fazemos frações parciais em
: supomos
Passo 8
Resolvendo para
dá
. Invertendo cada termo e usando
e
, obtemos
$$y_1(t)=\frac{4}{5}t-\frac{16}{25}+e^{-t/2}\Bigl(\frac{16}{25}\cos t-\frac{12}{25}\sin t\Bigr).
$$
Passo 9
Portanto a solução completa é dada por
, isto é para
vale
e para
vale
.