Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral dupla:
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente, integrais múltiplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a $ y $:
Aqui, tratamos $ x $ como uma constante porque estamos integrando em relação a $ y $.
Passo 3
Para integrar $ e^{\frac{y}{\sqrt{x}}} $ em relação a $ y $, vamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja $ u = \frac{y}{\sqrt{x}} $, então $ du = \frac{1}{\sqrt{x}} , dy $, ou seja, $ dy = \sqrt{x} , du $.
Passo 4
Substituindo na integral:
Note que os limites de integração mudaram: quando $ y = 0 $, $ u = 0 $, e quando $ y = \sqrt{x} $, $ u = 1 $.
Passo 5
Agora, a integral fica mais simples:
Então, a integral interna resulta em $ \sqrt{x} (e - 1) $.
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
A constante $ (e - 1) $ pode ser fatorada para fora:
Passo 7
Vamos integrar $ x^{1/2} $:
Aplicando os limites de 1 a 4:
Resposta
Portanto, a integral dupla vale: