Calcule as seguintes integrais:
integral1^4 integral0^raizx e^y / raizx d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral dupla:
integral1^4 integral0^raizx e^yraizx , dy , dx
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente, integrais múltiplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a $ y $:
y
Aqui, tratamos $ x $ como uma constante porque estamos integrando em relação a $ y $.

Passo 3

Para integrar $ e^{\frac{y}{\sqrt{x}}} $ em relação a $ y $, vamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja $ u = \frac{y}{\sqrt{x}} $, então $ du = \frac{1}{\sqrt{x}} , dy $, ou seja, $ dy = \sqrt{x} , du $.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral0^raizx e^yraizx , dy = integral0^1 e^u cdot raizx , du
Note que os limites de integração mudaram: quando $ y = 0 $, $ u = 0 $, e quando $ y = \sqrt{x} $, $ u = 1 $.

Passo 5

Agora, a integral fica mais simples:
raizx integral0^1 e^u , du = raizx [ e^u ]0^1 = raizx (e^1 - e^0) = raizx (e - 1)
Então, a integral interna resulta em $ \sqrt{x} (e - 1) $.

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral1^4 raizx (e - 1) , dx = (e - 1) integral1^4 raizx , dx
A constante $ (e - 1) $ pode ser fatorada para fora:
(e - 1)

Passo 7

Vamos integrar $ x^{1/2} $:
x^1/2
Aplicando os limites de 1 a 4:
integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2 + C

Resposta

Portanto, a integral dupla vale:
143 (e - 1)

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