Calcule as seguintes integrais:
integral0^2 integral-1^1(x^2 y-x y^3) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla que envolve as variáveis integral0^2 integral-1^1(x^2 y - x y^3) dy , dx e . O enunciado é:
Essa questão faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em relação a uma variável e depois em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. Basicamente, estamos somando os valores da função dentro da região onde varia de 0 a 2 e varia de -1 a 1.

Passo 3

Vamos começar integrando primeiro em relação a integral-1^1 (x^2 y - x y^3) dy , mantendo constante. A integral interna é:

Passo 4

Integrando termo a termo:
  1. Para x^2 integral-1^1 y , dy = x^2 [ y^22 ]-1^1 = x^2 ( 12 - 12 ) = 0 , a integral em relação a - x integral-1^1 y^3 , dy = -x [ y^44 ]-1^1 = -x ( 14 - 14 ) = 0 fica:
  1. Para , a integral em relação a fica:

Passo 5

Somando os dois resultados:
0 + 0 = 0
Então, a integral interna é igual a zero.

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^2 0 , dx = 0 :

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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