(1.0 ponto) Utilize coordenadas cilíndricas para calcular
, onde
é a região que está dentro do parabolóide
e o plano
.
Passo 1
Vamos primeiro entender o que o exercício pede: calcular o triplo integral
, onde a região
é delimitada por cima pelo plano
e por baixo pelo paraboloide
. O conteúdo aqui é integração em coordenadas cilíndricas, e vamos usar a substituição
,
, com elemento de volume
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, o paraboloide
vira
, e o plano
permanece
. A projeção da região
no plano
é o disco
,
, pois de
decorre
. Logo,
varia de 0 a 2,
de 0 a
e
de
até 4.
Passo 3
Agora montamos o integral em cilindricas:
Passo 4
Integramos primeiro em
. Como
é constante nesse passo,
Passo 5
Agora integramos em
de 0 a 2:
Passo 6
Por fim, integramos em
de 0 a
: