(1.0 ponto) Utilize coordenadas cilíndricas para calcular
integral triplaE(z) d V
, onde E é a região que está dentro do parabolóide z=x^2+y^2 e o plano z=4.

Passo 1

Vamos primeiro entender o que o exercício pede: calcular o triplo integral integral triplaE z,dV, onde a região E é delimitada por cima pelo plano z=4 e por baixo pelo paraboloide z=x^2+y^2. O conteúdo aqui é integração em coordenadas cilíndricas, e vamos usar a substituição x=rcostheta, y=rsintheta, com elemento de volume dV=r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, o paraboloide z=x^2+y^2 vira z=r^2, e o plano z=4 permanece z=4. A projeção da região E no plano xy é o disco 0<= r<= 2, 0<=theta<=2pi, pois de z=r^2<=4 decorre r<=2. Logo, r varia de 0 a 2, theta de 0 a 2pi e z de r^2 até 4.

Passo 3

Agora montamos o integral em cilindricas:
integral triplaEz,dV=integraltheta=0^2pi!integralr=0^2!integralz=r^2^4z,l(r,dz,dr,dthetar)

Passo 4

Integramos primeiro em z. Como r é constante nesse passo,
integralz=r^2^4z,r,dz=rintegralr^2^4z,dz=r[tfrac12z^2]z=r^2^4=rl(tfrac12(16)-tfrac12(r^4)r)=8r-tfrac12r^5

Passo 5

Agora integramos em r de 0 a 2:
integral0^2l(8r-tfrac12r^5r)dr=[4r^2-tfrac112r^6]0^2=4cdot4-tfrac112cdot64=16-tfrac163=tfrac323

Passo 6

Por fim, integramos em theta de 0 a 2pi:
integral0^2pi!tfrac323,dtheta=tfrac323cdot2pi=tfrac64pi3

Resposta

dfrac64pi3

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