Calcule as seguintes integrais.
integral1^e ln x d xx

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede: calcular a integral definida de 1 até $ e $ da função $ \ln(x) $ multiplicada por $ \frac{dx}{x} $. Isso está relacionado ao estudo de integrais envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da integral e aplicar técnicas de integração apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
ln(x) cdot dxx
Podemos reescrever isso como:
ln(x) cdot 1x , dx

Passo 3

Observamos que a função $ \ln(x) $ e $ \frac{1}{x} $ estão relacionadas de forma que podemos usar substituição para facilitar a integração. Vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável.

Passo 4

Vamos definir:
u = ln(x)
Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u

Passo 5

Substituindo $ u $ e $ du $ na integral original, temos:
u

Passo 6

Agora, vamos integrar $ u $ em relação a $ u $:
u
Como estamos lidando com uma integral definida, podemos ignorar a constante de integração $ C $.

Passo 7

Voltando para a variável original $ x $, substituímos $ u $ por $ \ln(x) $:
x

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até $ e $:
e
Sabemos que $ \ln(e) = 1 $ e $ \ln(1) = 0 $, então:
(ln(x))^22 |1^e = (ln(e))^22 - (ln(1))^22

Resposta

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