Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede: calcular a integral definida de 1 até $ e $ da função $ \ln(x) $ multiplicada por $ \frac{dx}{x} $. Isso está relacionado ao estudo de integrais envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da integral e aplicar técnicas de integração apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Observamos que a função $ \ln(x) $ e $ \frac{1}{x} $ estão relacionadas de forma que podemos usar substituição para facilitar a integração. Vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável.
Passo 4
Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 5
Substituindo $ u $ e $ du $ na integral original, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar $ u $ em relação a $ u $:
Como estamos lidando com uma integral definida, podemos ignorar a constante de integração $ C $.
Passo 7
Voltando para a variável original $ x $, substituímos $ u $ por $ \ln(x) $:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até $ e $:
Sabemos que $ \ln(e) = 1 $ e $ \ln(1) = 0 $, então: