MOSTRE QUE
mum=sumk=1^m ak=sumk=1^m(bk-bk+1)=b1-bm+1

Passo 1

Vamos entender que o objetivo é mostrar que a soma dos termos ak até um certo índice m pode ser escrita como uma soma telescópica de diferenças envolvendo os bk. Pela definição do enunciado, cada termo ak é dado por ak = bk - bk+1. Substituindo isso na soma, temos
sumk=1^m ak = sumk=1^m (bk - bk+1)

Passo 2

Para enxergar o fenômeno de telescopia, vamos escrever explicitamente os primeiros e os últimos termos dessa soma:
(b1 - b2) + (b2 - b3) + (b3 - b4) + cdots + (bm - bm+1)

Passo 3

Note que os termos intermediários b2, b3, dots, bm aparecem uma vez com sinal positivo e outra vez com sinal negativo, cancelando-se mutuamente. Só permanecem b1 do primeiro parêntese e -bm+1 do último. Portanto, ao fazer o cancelamento de todos os termos intermediários, obtemos
sumk=1^m ak = b1 - bm+1

Resposta

b_{1} - b_{m+1}

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