Diz-se que uma função f tem descontinuidade removível em x=c, se lim x a f(x) existe, mas
lim x a f(x) neq f(a)
ou porque f(a) é indefinida.
Ache os pontos de descontinuidade das funções:
a) f(x)=|x|x
b) f(x)=x^2-4x^3-8
c) f(x)= 2 x-3, & x <= 2 x^2, & x>2
h) f(x)= 3 x^2+5, & x neq 1 6, & x=1

Passo 1

Inicialmente, lembramos que uma função é contínua em x=a se está definida em a e limxto af(x)=f(a). Se isso não ocorre, há descontinuidade. Quando limxto af(x) existe mas é diferente de f(a) ou f(a) é indefinido, chamamos de descontinuidade removível. Se os limites laterais limxto a^-f(x) e limxto a^+f(x) existem mas não coincidem, temos descontinuidade por salto.

Passo 2

Para f(x)=|x|x, observamos que o domínio é xneq0. Para x>0, f(x)=1, e para x<0, f(x)=-1. Assim, limxto0^-f(x)=-1 e limxto0^+f(x)=1, logo não há limite único em 0 e a função não está definida em 0. Portanto, há descontinuidade em x=0, do tipo salto.

Passo 3

Para f(x)=x^2-4x^3-8, fatoramos numerador e denominador:
x^2-4=(x-2)(x+2), x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)

Passo 4

Para xneq2 simplificamos f(x)=x+2x^2+2x+4. Em x=2 o denominador original anula, mas
limxto2f(x)=2+24+4+4=13,
que existe. Como f(2) não está definido, temos descontinuidade removível em x=2.

Passo 5

Para a função por partes f(x)=2x-3,&x<=2,x^2,&x>2, verificamos em x=2: o valor à esquerda é 2cdot2-3=1 e o limite à direita é 2^2=4. Esses valores diferem, logo há descontinuidade por salto em x=2.

Passo 6

Para f(x)=3x^2+5,&xneq1,6,&x=1, calculamos
limxto13x^2+5=8,
mas f(1)=6. O limite existe e é diferente de f(1), caracterizando descontinuidade removível em $x=1.

Resposta

a) Descontinuidade em x=0 (salto). b) Descontinuidade em x=2 (removível). c) Descontinuidade em x=2 (salto). h) Descontinuidade em x=1 (removível).

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