Calcule as seguintes integrais:
integral2^3 4 x+3(x-1)^2(x+1) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função racional de grau de numerador menor que o denominador entre 2 e 3. O conteúdo principal é a decomposição em frações parciais e, depois, a aplicação de integrais básicas de $(x-1)^{-1}, (x-1)^{-2}$ e $(x+1)^{-1}$.

Passo 2

Para decompor \(\frac{4x+3}{(x-1)^2(x+1)})\ em frações parciais, assumimos:
\$ 4x+3(x-1)^2(x+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por $ (x-1)^2(x+1)$ e comparando coeficientes de potências de $x$, obtemos o sistema:
\$ (x-1)^2(x+1)
\$ x
\$ A + C = 0,

Passo 4

Resolvendo: de $A + C = 0$ vem $C = -A$. Substituindo em $B - 2C = 4$ dá $B + 2A = 4$, ou $B = 4 - 2A$. Finalmente em $-A + B + C = 3$:
\$ A + C = 0

Passo 5

Logo $A = \tfrac14, B = 4 - 2\cdot\tfrac14 = \tfrac72, C = -\tfrac14$ e a decomposição é:
\$ A = tfrac14, B = 4 - 2cdottfrac14 = tfrac72, C = -tfrac14

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
\$ integral 1/4x-1 ,dx = 14 ,ln|x-1|,
\$ integral 7/2(x-1)^2 ,dx = 72,(-1x-1) = -72(x-1),
\$ integral -1/4x+1 ,dx = -14 ,ln|x+1|

Passo 7

O antiderivado é:
\$ F(x) = 14 ,ln|x-1| - 72(x-1) - 14 ,ln|x+1|

Passo 8

Agora avaliamos de 2 a 3: primeiro em $x=3$
\$ x=3 e em $x=2$
\$ F(3) = 14 ln2 - 74 - 14 ln4 = -14 ln2 - 74,

Passo 9

Subtraindo $F(3) - F(2)$ e simplificando, chegamos a
\$ F(3) - F(2)

Resposta

$\displaystyle \frac{7}{4} + \frac{1}{4}\ln\frac{3}{2}$

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