Calcule as seguintes integrais:
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função racional de grau de numerador menor que o denominador entre 2 e 3. O conteúdo principal é a decomposição em frações parciais e, depois, a aplicação de integrais básicas de $(x-1)^{-1}, (x-1)^{-2}$ e $(x+1)^{-1}$.
Passo 2
Para decompor \(\frac{4x+3}{(x-1)^2(x+1)})\ em frações parciais, assumimos:
\$
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por $ (x-1)^2(x+1)$ e comparando coeficientes de potências de $x$, obtemos o sistema:
\$
\$
\$
Passo 4
Resolvendo: de $A + C = 0$ vem $C = -A$. Substituindo em $B - 2C = 4$ dá $B + 2A = 4$, ou $B = 4 - 2A$. Finalmente em $-A + B + C = 3$:
\$
Passo 5
Logo $A = \tfrac14, B = 4 - 2\cdot\tfrac14 = \tfrac72, C = -\tfrac14$ e a decomposição é:
\$
Passo 6
Agora integramos termo a termo:
\$
\$
\$
Passo 7
O antiderivado é:
\$
Passo 8
Agora avaliamos de 2 a 3: primeiro em $x=3$
\$
e em $x=2$
\$
Passo 9
Subtraindo $F(3) - F(2)$ e simplificando, chegamos a
\$
Resposta
$\displaystyle \frac{7}{4} + \frac{1}{4}\ln\frac{3}{2}$