Calcule as seguintes integrais:
integralp i / 4^pi / 2 sen^3(2 x) d x

Passo 1

Estamos com a integral integralpi/4^pi/2 sin^3(2x),dx. O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade sin^2t=1-cos^2t e uma substituição trigonométrica para simplificar.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o integrando usando a identidade de potência reduzida:
sin^3(2x)=l(sin^2(2x)r)sin(2x)=l(1-cos^2(2x)r)sin(2x)

Passo 3

Em seguida fazemos a substituição comum em integrais de sen·polinômio de cosseno:
u=cos(2x), du=-2sin(2x),dxLongrightarrow sin(2x),dx=-tfrac12,du

Passo 4

Também trocamos os limites: quando x=pi/4, u=cos(pi/2)=0; quando x=pi/2, u=cos(pi)=-1.
Assim a integral vira
integralpi/4^pi/2sin^3(2x),dx=integral0^-1(1-u^2)l(-tfrac12r)du =-tfrac12integral0^-1(1-u^2),du

Passo 5

Invertendo os limites para facilitar:
-tfrac12integral0^-1(1-u^2),du=tfrac12integral-1^0(1-u^2),du

Passo 6

Calculamos a antiderivada:
integral(1-u^2),du=u-tfracu^33+C
e avaliamos de -1 a 0:
l[u-tfracu^33r]-1^0=(0-0)-l((-1)-(-1/3)r)=tfrac23

Passo 7

Multiplicando pelo tfrac12 que ficou fora, obtemos tfrac12cdottfrac23=tfrac13.

Resposta

tfrac13

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