Esboce e determine a área da região delimitada pelos traçados das curvas y=x^2+2 e y=4-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica que pede para esboçar e calcular a área da região onde as curvas $ y = x^2 + 2 $ e $ y = 4 - x^2 $ se cruzam. Para resolver isso, vamos precisar entender como as curvas se comportam, encontrar os pontos de interseção delas e usar integração para achar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  1. $ y = x^2 + 2 $ é uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto (0, 2).
  2. $ y = 4 - x^2 $ é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto (0, 4).
Isso já dá uma ideia de que as duas parábolas vão se cruzar em algum ponto, formando uma região fechada entre elas.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção das duas curvas, vamos igualar as equações:
x^2 + 2 = 4 - x^2
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $ onde as curvas se cruzam.

Passo 4

Somando $ x^2 $ em ambos os lados:
x^2
Subtraindo 2 de ambos os lados:
x^2 + 2 + x^2 = 4 - x^2 + x^2 2x^2 + 2 = 4
Dividindo por 2:
2x^2 = 2
Então, tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
x^2 = 1
Portanto, os pontos de interseção ocorrem quando $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 5

Agora que sabemos os valores de $ x $ onde as curvas se interceptam, vamos encontrar as coordenadas completas desses pontos.
Para $ x = 1 $:
x
Então, um ponto de interseção é (1, 3).
Para $ x = -1 $:
x = 1
Então, o outro ponto de interseção é (-1, 3).

Passo 6

Agora, vamos visualizar as curvas:
  • A parábola $ y = x^2 + 2 $ está sempre acima da parábola $ y = 4 - x^2 $ entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $, porque para esses valores de $ x $, $ y = 4 - x^2 $ está acima de $ y = x^2 + 2 $.
Isso significa que, para calcular a área entre as curvas, precisamos integrar a diferença entre as duas funções nesse intervalo.

Passo 7

A fórmula para a área $ A $ entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $, onde $ f(x) \geq g(x) $ no intervalo A , é:
y = f(x)
No nosso caso, $ f(x) = 4 - x^2 $ e $ g(x) = x^2 + 2 $, com $ a = -1 $ e $ b = 1 $.

Passo 8

Vamos montar a integral:
A = integral-1^1 [(4 - x^2) - (x^2 + 2)] , dx = integral-1^1 [4 - x^2 - x^2 - 2] , dx = integral-1^1 [2 - 2x^2] , dx

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral:
integral [2 - 2x^2] , dx = 2x - 23x^3 + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para calcular a área definida.

Passo 10

Aplicando os limites de integração de -1 a 1:
A = [ 2x - 23x^3 ]-1^1 = (2(1) - 23(1)^3) - (2(-1) - 23(-1)^3)
Simplificando:
A = (2 - 23) - (-2 + 23) = (63 - 23) - (-63 + 23) = 43 - (-43) = 43 + 43 = 83

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas $ y = x^2 + 2 $ e $ y = 4 - x^2 $ é $ \frac{8}{3} $ unidades quadradas.

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