Calcule as seguintes integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
.
Conteúdo envolvido: Essa integral envolve cálculos de integrais definidas e manipulação de expressões trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Às vezes, é útil reescrever expressões trigonométricas para facilitar a integração.
Identidade trigonométrica usada: Sabemos que
e
.
Passo 3
Aplicando essas identidades, o denominador fica:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Podemos simplificar retirando o fator 2 do denominador:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja
. Então, precisamos encontrar
.
Derivando
em relação a
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Mas vemos que o denominador da nossa integral original é $ \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot u $. Para facilitar, podemos reescrever a fração como:
Mas isso complica mais, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos multiplicar o numerador e o denominador por
:
Isso simplifica a integral para:
Passo 8
Vamos fazer a substituição $ t = \frac{x}{2} $, então $ dt = \frac{1}{2}dx $, ou seja, $ dx = 2dt $.
Os limites de integração mudam:
- Quando $ x = \frac{\pi}{3} $, $ t = \frac{\pi}{6} $.
- Quando $ x = \frac{\pi}{2} $, $ t = \frac{\pi}{4} $.
A integral fica:
Passo 9
Para integrar
, vamos multiplicar numerador e denominador por
:
Usando a identidade
, a expressão fica:
Passo 10
Agora, a integral é:
Essa integral pode ser resolvida separadamente em duas partes:
Passo 11
Resolvendo cada parte:
-
Para
, fazemos a substituição , . Porém, isso complica, então vamos usar outra identidade. -
Para
, usamos a identidade , mas ainda é complicado.
Passo 12
Uma abordagem mais simples é perceber que:
Então, a integral se torna:
Passo 13
Aplicando isso aos limites de integração:
Resposta
A integral vale:
Simplificando os valores trigonométricos:
Portanto, a resposta final é: