Calcule as seguintes integrais
integralpi3^pi2 11-cos x+sin x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integralpi3^pi2 11 - cos x + sin x , dx.
Conteúdo envolvido: Essa integral envolve cálculos de integrais definidas e manipulação de expressões trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 1 - cos x + sin x. Às vezes, é útil reescrever expressões trigonométricas para facilitar a integração.
Identidade trigonométrica usada: Sabemos que 1 - cos x = 2sin^2(x2) e sin x = 2sin(x2)cos(x2).

Passo 3

Aplicando essas identidades, o denominador fica:
1 - cos x + sin x = 2sin^2(x2) + 2sin(x2)cos(x2)
Podemos fatorar 2sin(x2):
2sin(x2)(sin(x2) + cos(x2))

Passo 4

Agora, a integral fica:
integralpi3^pi2 12sin(x2)(sin(x2) + cos(x2)) , dx
Podemos simplificar retirando o fator 2 do denominador:
12 integralpi3^pi2 1sin(x2)(sin(x2) + cos(x2)) , dx

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja u = sin(x2) + cos(x2). Então, precisamos encontrar du.
Derivando u em relação a x:
dudx = 12cos(x2) - 12sin(x2)
Isso pode ser reescrito como:
du = (cos(x2) - sin(x2)2) dx

Passo 6

Mas vemos que o denominador da nossa integral original é $ \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot u $. Para facilitar, podemos reescrever a fração como:
sin(x2) cdot u
Mas isso complica mais, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por sin(x2):
1sin(x2)(sin(x2) + cos(x2)) cdot sin(x2)sin(x2) = 1sin(x2) + cos(x2)
Isso simplifica a integral para:
12 integralpi3^pi2 1sin(x2) + cos(x2) , dx

Passo 8

Vamos fazer a substituição $ t = \frac{x}{2} $, então $ dt = \frac{1}{2}dx $, ou seja, $ dx = 2dt $.
Os limites de integração mudam:
  • Quando $ x = \frac{\pi}{3} $, $ t = \frac{\pi}{6} $.
  • Quando $ x = \frac{\pi}{2} $, $ t = \frac{\pi}{4} $.
A integral fica:
t = x2

Passo 9

Para integrar 1sin t + cos t, vamos multiplicar numerador e denominador por sin t - cos t:
sin t - cos t(sin t + cos t)(sin t - cos t) = sin t - cos tsin^2 t - cos^2 t
Usando a identidade sin^2 t - cos^2 t = -cos(2t), a expressão fica:
sin t - cos t-cos(2t) = -sin t - cos tcos(2t)

Passo 10

Agora, a integral é:
-integralpi6^pi4 sin t - cos tcos(2t) , dt
Essa integral pode ser resolvida separadamente em duas partes:
-integral sin tcos(2t) , dt + integral cos tcos(2t) , dt

Passo 11

Resolvendo cada parte:
  1. Para -integral sin tcos(2t) , dt, fazemos a substituição u = cos(2t), du = -2sin(2t)dt = -4sin t cos t dt. Porém, isso complica, então vamos usar outra identidade.
  2. Para integral cos tcos(2t) , dt, usamos a identidade cos(2t) = 2cos^2 t - 1, mas ainda é complicado.

Passo 12

Uma abordagem mais simples é perceber que:
1sin t + cos t = raiz22 (sin t - cos t)
Então, a integral se torna:
integral 1sin t + cos t , dt = 1raiz2 ln|sin t + cos t| + C

Passo 13

Aplicando isso aos limites de integração:
integralpi6^pi4 1sin t + cos t , dt = 1raiz2 [ ln|sin t + cos t| ]pi6^pi4

Resposta

A integral vale:
1raiz2 ( ln(sinpi4 + cospi4) - ln(sinpi6 + cospi6) )
Simplificando os valores trigonométricos:
1raiz2 ( ln(raiz22 + raiz22) - ln(12 + raiz32) ) = 1raiz2 ( ln(raiz2) - ln(1 + raiz32) )
Portanto, a resposta final é:
1raiz2 ( ln(raiz2) - ln(1 + raiz32) )

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