Encontre uma fórmula para o termo geral an da sequência, assumindo os seguintes padrões dos primeiros termos.
1,0,-1,0,1,-1,0, cdots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma fórmula para o termo geral de uma sequência que segue o padrão . Vamos precisar usar conceitos de sequências periódicas e funções matemáticas que nos ajudem a capturar esse padrão. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar o padrão da sequência: 1, 0, -1, 0, 1, -1, 0, …
Percebemos que os valores se repetem a cada 4 termos: 1, 0, -1, 0, e então volta a 1, -1, 0, etc. Isso indica que a sequência tem periodicidade.

Passo 3

Para modelar essa periodicidade, podemos usar a função cosseno ou seno, que são periódicas. Porém, também podemos usar funções de periodicidade mais simples, como o , que alterna entre 1 e -1.

Passo 4

No nosso caso, como a sequência inclui zeros intercalados, podemos combinar essas funções. Vamos dividir a sequência em dois casos: quando é ímpar e quando é par.

Passo 5

Para os termos em posições ímpares ( ):
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • E assim por diante.
Percebemos que para ímpar, .

Passo 6

Para os termos em posições pares ( ):
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • E assim por diante.
Ou seja, para par, .

Passo 7

Agora, podemos combinar essas duas partes em uma única fórmula usando a função que identifica se é par ou ímpar. Uma forma de fazer isso é utilizando , que é 1 quando é ímpar e 0 quando é par.

Passo 8

Então, a fórmula geral fica:
an = (-1)^n-12 cdot 1 - (-1)^n2

Resposta

A fórmula para o termo geral da sequência é:
an = (-1)^n-12 cdot 1 - (-1)^n2

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