Encontre uma fórmula para o termo geral
da sequência, assumindo os seguintes padrões dos primeiros termos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma fórmula para o termo geral
de uma sequência que segue o padrão
. Vamos precisar usar conceitos de sequências periódicas e funções matemáticas que nos ajudem a capturar esse padrão. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos observar o padrão da sequência: 1, 0, -1, 0, 1, -1, 0, …
Percebemos que os valores se repetem a cada 4 termos: 1, 0, -1, 0, e então volta a 1, -1, 0, etc. Isso indica que a sequência tem periodicidade.
Passo 3
Para modelar essa periodicidade, podemos usar a função cosseno ou seno, que são periódicas. Porém, também podemos usar funções de periodicidade mais simples, como o
, que alterna entre 1 e -1.
Passo 4
No nosso caso, como a sequência inclui zeros intercalados, podemos combinar essas funções. Vamos dividir a sequência em dois casos: quando
é ímpar e quando
é par.
Passo 5
Para os termos em posições ímpares (
):
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - E assim por diante.
Percebemos que para
ímpar,
.
Passo 6
Para os termos em posições pares (
):
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - E assim por diante.
Ou seja, para
par,
.
Passo 7
Agora, podemos combinar essas duas partes em uma única fórmula usando a função que identifica se
é par ou ímpar. Uma forma de fazer isso é utilizando
, que é 1 quando
é ímpar e 0 quando
é par.
Passo 8
Então, a fórmula geral fica:
Resposta
A fórmula para o termo geral da sequência é: