Calcule as seguintes integrais:
integralpi6^pi3 sec ^3 x tg x d x.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integralpi/6^pi/3sec^3 x,tan x,dx. O conteúdo envolvido é reconhecimento de que ddx(sec x)=sec xtan x, então vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Reescrevendo o integrando para facilitar a substituição: separamos sec^3 x,tan x = sec^2 x cdot (sec x,tan x). Dessa forma, vemos claramente um fator igual a ddx(sec x).

Passo 3

Fazendo a substituição u=sec x, temos du=sec x,tan x,dx. Logo a integral vira
integralsec^3 x,tan x,dx =integral u^2,du

Passo 4

Integramos integral u^2,du=u^33+C e voltamos para x:
u^33+C=sec^3 x3+C.

Passo 5

Agora aplicamos os limites de integração:
F(x)=sec^3 x3,entãointegralpi/6^pi/3=Fl(pi/3r)-Fl(pi/6r)ã

Passo 6

Calculando cada valor: sec(pi/3)=2 e sec(pi/6)=2/raiz3. Substituindo,
13l(2^3-l(tfrac2raiz3r)^3r)=13l(8-83raiz3r)

Passo 7

Por fim, simplificando obtemos
72-8raiz327

Resposta

dfrac72-8raiz327

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