Determine para quais valores de r a sequência r^n converge, e para quais valores de r ela diverge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar para quais valores de r a sequência r^n converge (ou seja, se aproxima de um valor específico à medida que n aumenta) e para quais valores ela diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de limites de sequências e como eles se comportam dependendo do valor de r.

Passo 2

Vamos analisar a sequência r^n. Aqui, r é uma constante e n é um número natural que tende ao infinito. Queremos descobrir o que acontece com r^n quando n fica muito grande. Dependendo do valor de r, a sequência pode se aproximar de um número específico (convergir) ou não (diverge).

Passo 3

Para entender o comportamento da sequência, vamos observar o valor absoluto de r, ou seja, |r|. Isso nos ajuda a determinar o quanto r está “puxando” a sequência para cima ou para baixo conforme aumentamos n.

Passo 4

Vamos dividir em casos baseados no valor de |r|:
  1. Se |r| < 1:
    • Explicação: Quando o valor absoluto de r é menor que 1, multiplicar r por ele mesmo muitas vezes faz com que o resultado fique cada vez menor.
    • Exemplo: Se r = 0.5, então r^n = (0.5)^n. À medida que n aumenta, (0.5)^n se aproxima de 0.
    • Conclusão: A sequência r^n converge para 0.
  2. Se |r| = 1:
    • Subcaso 1: r = 1
      • Explicação: Qualquer número 1 elevado à potência n sempre resulta em 1.
      • Exemplo: 1^n = 1 para qualquer n.
      • Conclusão: A sequência 1^n converge para 1.
    • Subcaso 2: r = -1
      • Explicação: Quando r é -1, o sinal da sequência alterna entre -1 e 1 conforme n aumenta.
      • Exemplo: (-1)^n resulta em -1 quando n é ímpar e 1 quando n é par.
      • Conclusão: A sequência não se aproxima de nenhum valor específico, portanto, diverge.
  3. Se |r| > 1:
    • Explicação: Quando o valor absoluto de r é maior que 1, multiplicar r por ele mesmo faz com que o resultado cresça sem limites à medida que n aumenta.
    • Exemplo: Se r = 2, então 2^n cresce exponencialmente à medida que n aumenta, indo para positivo infinito.
    • Conclusão: A sequência r^n diverge, indo para positivo ou negativo infinito dependendo do sinal de r.

Resposta

A sequência r^n converge para 0 quando |r| < 1 e converge para 1 quando r = 1. Para todos os demais valores de r (ou seja, quando |r| > 1 ou r = -1), a sequência diverge.

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