Determine para quais valores de
a sequência
converge, e para quais valores de
ela diverge.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar para quais valores de
a sequência
converge (ou seja, se aproxima de um valor específico à medida que
aumenta) e para quais valores ela diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de limites de sequências e como eles se comportam dependendo do valor de
.
Passo 2
Vamos analisar a sequência
. Aqui,
é uma constante e
é um número natural que tende ao infinito. Queremos descobrir o que acontece com
quando
fica muito grande. Dependendo do valor de
, a sequência pode se aproximar de um número específico (convergir) ou não (diverge).
Passo 3
Para entender o comportamento da sequência, vamos observar o valor absoluto de
, ou seja,
. Isso nos ajuda a determinar o quanto
está “puxando” a sequência para cima ou para baixo conforme aumentamos
.
Passo 4
Vamos dividir em casos baseados no valor de
:
-
Se
: - Explicação: Quando o valor absoluto de
é menor que 1, multiplicar por ele mesmo muitas vezes faz com que o resultado fique cada vez menor. - Exemplo: Se
, então . À medida que aumenta, se aproxima de 0. - Conclusão: A sequência
converge para 0.
- Explicação: Quando o valor absoluto de
-
Se
: -
Subcaso 1:
- Explicação: Qualquer número 1 elevado à potência
sempre resulta em 1. - Exemplo:
para qualquer . - Conclusão: A sequência
converge para 1.
- Explicação: Qualquer número 1 elevado à potência
-
Subcaso 2:
- Explicação: Quando
é -1, o sinal da sequência alterna entre -1 e 1 conforme aumenta. - Exemplo:
resulta em -1 quando é ímpar e 1 quando é par. - Conclusão: A sequência não se aproxima de nenhum valor específico, portanto, diverge.
- Explicação: Quando
-
-
Se
: - Explicação: Quando o valor absoluto de
é maior que 1, multiplicar por ele mesmo faz com que o resultado cresça sem limites à medida que aumenta. - Exemplo: Se
, então cresce exponencialmente à medida que aumenta, indo para positivo infinito. - Conclusão: A sequência
diverge, indo para positivo ou negativo infinito dependendo do sinal de .
- Explicação: Quando o valor absoluto de
Resposta
A sequência
converge para 0 quando
e converge para 1 quando
. Para todos os demais valores de
(ou seja, quando
ou
), a sequência diverge.