Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, precisamos lembrar da fórmula da integração por partes, que ajuda quando temos o produto de duas funções, como é o caso do
e do
aqui.
Passo 2
A fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos identificar partes da nossa integral que serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar, e
como o restante.
Passo 3
Vamos definir:
-
(porque a derivada de é mais simples) -
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Derivando
:
Integrando
para encontrar
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Integrando
:
Então, nossa expressão fica:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 8
Calculando cada termo:
Substituindo:
Resposta
A integral
é igual a
.