Calcule as seguintes integrais:
integralpi2^pi x sen x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integralpi2^pi x sen x , dx. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, precisamos lembrar da fórmula da integração por partes, que ajuda quando temos o produto de duas funções, como é o caso do x e do sen x aqui.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar partes da nossa integral que serão u e dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica ao derivar, e dv como o restante.

Passo 3

Vamos definir:
  • u = x (porque a derivada de x é mais simples)
  • dv = sen x , dx
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Derivando u:
du = ddxx , dx = 1 , dx
Integrando dv para encontrar v:
v = integral sen x , dx = -cos x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x sen x , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot 1 , dx
Simplificando:
- x cos x + integral cos x , dx

Passo 6

Integrando cos x:
integral cos x , dx = sen x
Então, nossa expressão fica:
- x cos x + sen x

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de pi2 a pi:
[ -x cos x + sen x ]pi2^pi = ( -pi cos pi + sen pi ) - ( -pi2 cos pi2 + sen pi2 )

Passo 8

Calculando cada termo:
  • cos pi = -1
  • sen pi = 0
  • cos pi2 = 0
  • sen pi2 = 1
Substituindo:
( -pi cdot (-1) + 0 ) - ( -pi2 cdot 0 + 1 ) = pi - 1

Resposta

A integral integralpi2^pi x sen x , dx é igual a pi - 1.

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