Calcule as seguintes integrais:
integral[sec ^2(x)-sen(2 x)] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral[sec^2(x)-sin(2x)],dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar as fórmulas conhecidas integralsec^2(x),dx=tan(x)+C e integralsin(ax),dx=-tfrac1acos(ax)+C.

Passo 2

Vamos primeiro separar a integral em duas partes: a de sec^2(x) e a de sin(2x). Assim temos
integral[sec^2(x)-sin(2x)],dx = integralsec^2(x),dx - integralsin(2x),dx

Passo 3

Calculemos integralsec^2(x),dx. A gente sabe que a derivada de tan(x) é sec^2(x), então
integralsec^2(x),dx = tan(x) + C1

Passo 4

Agora, integralsin(2x),dx. Use a substituição u=2x, logo du=2,dx e dx=du/2. Isso dá
integralsin(2x),dx = integralsin(u)du2 = 12integralsin(u),du = -12cos(u) + C2 = -12cos(2x) + C2

Passo 5

Por fim, juntamos as duas partes e agrupamos as constantes numa só C:
integral[sec^2(x)-sin(2x)],dx = tan(x) - l(-tfrac12cos(2x)r) + C = tan(x) + tfrac12cos(2x) + C

Resposta

tan(x) + tfrac12cos(2x) + C

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