Seja gamma:[a, b] R^n uma curva com derivada continua em [a, b]. Definimos o comprimento L(gamma) da curva gamma por
L(gamma)=integrala^b|gamma^prime(t)| d t
Calcule o comprimento da curva dada.
(d) gamma(t)=(e^-t cos t, e^-t sin t, e^-t), t in[0,1].

Passo 1

Estamos com a curva $\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^3$\ definida por $\gamma(t)=(e^{-t}\cos t,;e^{-t}\sin t,;e^{-t}),$ e queremos o comprimento usando a definição
A ideia é aplicar que o comprimento é
$ gamma:[0,1]R^3

Passo 2

Primeiro, derivamos componente a componente. As derivadas são:
$$
\gamma’(t)=
\bigl(-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t,;-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t,;-e^{-t}\bigr).
$$

Passo 3

Agora, calculamos a norma de $\gamma’(t)$\. Note que
$$
\|\gamma’(t)\|2=e{-2t}
\bigl[(-\cos t-\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2+1\bigr]
=3e^{-2t}.
$$
Logo
$$
\|\gamma’(t)\|=\sqrt{3},e^{-t}.
$$

Passo 4

Finalmente, integramos:
$$
L(\gamma)=\int_01\sqrt{3},e{-t}\,dt
=\sqrt{3}\bigl[-e{-t}\bigr]_01
=\sqrt{3}(1-e^{-1}).
$$

Resposta

$\sqrt{3}(1-e^{-1})$

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