Calcule as seguintes integrais.
\int\left(3 t^{2}+\frac{t}{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função polinomial em t, ou seja,
\int\Bigl(3\,t^{2} + \frac{t}{2}\Bigr)\,dt.
Para resolver, vamos usar a linearidade da integral e a regra de potência:
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Separe a integral em duas parcelas usando a linearidade:
\int\Bigl(3\,t^{2} + \tfrac{t}{2}\Bigr)\,dt = 3\int t^{2}\,dt \;+\;\tfrac{1}{2}\int t\,dt.

Passo 3

Aplique a regra de potência em cada parcela:
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3}, \qquad \int t\,dt = \frac{t^{2}}{2}.
Logo,
3\int t^{2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{3}}{3} = t^{3}, \qquad \tfrac{1}{2}\int t\,dt = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{t^{2}}{2} = \frac{t^{2}}{4}.

Passo 4

Some os resultados e inclua a constante de integração C:
t^{3} + \frac{t^{2}}{4} + C.

Resposta

t^{3} + \frac{t^{2}}{4} + C

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