Calcule as seguintes integrais.
\int\left(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}\Bigr)\,dx.
Este problema envolve antiderivadas de funções potência de x e de uma constante.

Passo 2

Vamos separar e integrar termo a termo. Primeiro o termo \frac{1}{x^{2}}, que reescrevemos como x^{-2}. Pela regra de potências:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora o termo -x^{2}. Aplicando a mesma regra:
\int \bigl(-x^{2}\bigr)\,dx = -\int x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Por fim, o termo constant e -\tfrac{1}{3}. Como \int k\,dx = kx para constante k, temos:
\int \Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)\,dx = -\frac{1}{3}\,x.

Passo 5

Somando as três contribuições e incluindo a constante de integração C, obtemos
-\frac{1}{x} \;-\;\frac{x^{3}}{3}\;-\;\frac{x}{3} \;+\;C.

Resposta

-\frac{1}{x} \;-\;\frac{x^{3}}{3}\;-\;\frac{x}{3} + C

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