Seja f(x, y) de classe C^{3} no aberto A \subset \mathbb{R}^{2} e seja \left(x_{0}, y_{0}\right) um ponto de A (lembre-se de que f de classe C^{3} em A significa que todas as derivadas parciais de ordem 3 são contínuas em A ). Prove que existem uma bola aberta B de centro \left(x_{0}, y_{0}\right), com B \in A, e um número M>0 tais que, para todo (x, y) \in B,
\left|f(x, y)-P_{2}(x, y)\right| \leqslant M\left\|(x, y)-\left(x_{0}, y_{0}\right)\right\|^{3}
onde P_{2}(x, y) é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de \left(x_{0}, y_{0}\right). Conclua que
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} \frac{E(x, y)}{\left\|(x, y)-\left(x_{0}, y_{0}\right)\right\|^{2}}=0
onde E(x, y)=f(x, y)-P_{2}(x, y); isto é, o erro E(x, y) tende a zero mais rapidamente que \left\|(x, y)-\left(x_{0}, y_{0}\right)\right\|^{2}, quando (x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informação: f(x,y) é de classe C^{3} num aberto A\subset\mathbb{R}^{2}.
  • Informação: \left(x_{0},y_{0}\right)\in A.
  • Informação: P_{2}(x,y) é o polinómio de Taylor de ordem 2 de f em torno de \left(x_{0},y_{0}\right) (ou seja, o polinómio formado pelas derivadas parciais de ordem até 2 avaliadas em \left(x_{0},y_{0}\right)).
  • Pergunta 1: Provar que existe uma bola aberta B centrada em \left(x_{0},y_{0}\right), com B\subset A, e um número M>0 tais que, para todo (x,y)\in B,
\left|f(x,y)-P_{2}(x,y)\right| \le M\left\|(x,y)-\left(x_{0},y_{0}\right)\right\|^{3}.
  • Pergunta 2: Concluir que, definindo E(x,y)=f(x,y)-P_{2}(x,y),
\lim_{(x,y)\to\left(x_{0},y_{0}\right)} \frac{E(x,y)}{\left\|(x,y)-\left(x_{0},y_{0}\right)\right\|^{2}} = 0.
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima. A partir daqui vamos construir a prova passo a passo.

Passo 2

Vamos reduzir o problema de duas variáveis a um problema de uma variável ao considerar a restrição de f à reta que liga \left(x_{0},y_{0}\right) a (x,y). Para isso, fixamos (x,y) e escrevemos
h := x-x_{0},\qquad k := y-y_{0}.
Definimos a função de uma variável
\varphi(t) := f\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr),\qquad t\in[0,1].
Comentário didático: a ideia é que \varphi(0)=f(x_{0},y_{0}) e \varphi(1)=f(x,y). Aplicando a fórmula de Taylor em uma variável para \varphi em torno de t=0 obtemos uma expansão cuja parte polinomial até segundo grau coincide exatamente com P_{2}(x,y) (isto será verificado). Assim o resto de ordem 3 de \varphi dará o erro entre f(x,y) e P_{2}(x,y).

Passo 3

Verificamos que \varphi é C^{3} em [0,1]. Justificativa: f é C^{3} em A e a curva t\mapsto (x_{0}+th,y_{0}+tk) está contida num pequeno segmento em A se escolhermos (x,y) suficientemente próximo de (x_{0},y_{0}). A composição de funções C^{3} é C^{3}, logo \varphi\in C^{3} em [0,1] (quando (x,y) estiver em uma bola pequena contida em A).

Passo 4

Calculamos as derivadas de \varphi em termos das derivadas parciais de f (aplicando regra da cadeia). Avaliando em t genérico (os pontos aparecem como \bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)):
  • Primeira derivada:
\varphi'(t) = f_{x}\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)\,h \;+\; f_{y}\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)\,k.
Explicação: a derivada direcional ao longo da reta é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas componentes do vetor direcional (h,k).
  • Segunda derivada (aplicando novamente a regra da cadeia):
\varphi''(t) = f_{xx}\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)\,h^{2} \;+\; 2\,f_{xy}\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)\,h k \;+\; f_{yy}\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)\,k^{2}.
Comentário: aparece o termo simétrico 2f_{xy}hk porque ao derivar \varphi' tanto a derivada de f_x h fornece f_{xx}h^2 quanto a derivada de f_y k fornece f_{xy} hk, e o termo simétrico surge somando os dois.
  • Terceira derivada (diferenciando mais uma vez):
\varphi'''(t) = f_{xxx}\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)\,h^{3} \;+\; 3\,f_{xxy}\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)\,h^{2}k
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\,3\,f_{xyy}\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)\,h k^{2} \;+\; f_{yyy}\bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)\,k^{3}.
Comentário sobre os coeficientes 1,3,3,1: eles vêm da diferenciação repetida (são os coeficientes multinomiais, análogos aos coeficientes do binômio para a terceira potência).

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Taylor com resto na forma de Lagrange para a função \varphi em t=0 até ordem 2. Como \varphi\in C^{3}, existe \xi\in(0,1) (dependente de h,k) tal que
\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0)\cdot 1 + \frac{\varphi''(0)}{2!}\cdot 1^{2} + \frac{\varphi'''(\xi)}{3!}\cdot 1^{3}.
Reescrevendo em termos de f:
f(x,y) = f(x_{0},y_{0}) + \bigl(f_{x}(x_{0},y_{0})h + f_{y}(x_{0},y_{0})k\bigr)
\qquad\qquad\qquad + \frac{1}{2}\bigl(f_{xx}(x_{0},y_{0})h^{2} + 2f_{xy}(x_{0},y_{0})hk + f_{yy}(x_{0},y_{0})k^{2}\bigr) + \frac{\varphi'''(\xi)}{6}.
Observação: os termos até ordem 2 acima são exatamente o polinómio de Taylor de ordem 2, P_{2}(x,y), avaliado em (x,y)=(x_{0}+h,y_{0}+k). Logo o erro
E(x,y) := f(x,y)-P_{2}(x,y)
satisfaz
E(x,y) = \frac{\varphi'''(\xi)}{6}
para algum \xi\in(0,1).

Passo 6

Agora vamos obter uma estimativa numérica para |\varphi'''(\xi)| em função de \|(h,k)\|. Como f é C^{3}, todas as derivadas parciais de terceira ordem são contínuas em A. Portanto, podemos escolher uma bola aberta B centrada em \left(x_{0},y_{0}\right) suficientemente pequena tal que a bola fechada \overline{B} (fechamento de B) esteja contida em A. Pela continuidade das derivadas de ordem 3 em \overline{B} (que é compacta), existe um número
L>0
tal que, para todo (u,v)\in\overline{B} e para todas as derivadas parciais de ordem 3,
\bigl|f_{ijk}(u,v)\bigr| \le L
onde i,j,k\in\{x,y\}. (Explicação: a continuidade em conjunto com compacidade dá um supremo finito.)
Como \xi\in(0,1) e a curva t\mapsto(x_{0}+t h,y_{0}+t k) permanece em \overline{B} quando (x,y)\in B, podemos estimar os termos de \varphi'''(\xi) usando a expressão do Passo 4:
\bigl|\varphi'''(\xi)\bigr| \le L\bigl(|h|^{3} + 3|h|^{2}|k| + 3|h||k|^{2} + |k|^{3}\bigr).
Repare que o parêntese é exatamente (|h|+|k|)^{3}. Assim
\bigl|\varphi'''(\xi)\bigr| \le L\bigl(|h|+|k|\bigr)^{3}.

Passo 7

Relacionamos |h|+|k| com a norma euclidiana \|(h,k)\|. Pelo desigualdade de Cauchy-Schwarz (ou desigualdade triangular e norma), temos
|h|+|k| \le \sqrt{2}\sqrt{h^{2}+k^{2}} = \sqrt{2}\,\|(h,k)\|.
Elevando ao cubo,
(|h|+|k|)^{3} \le (\sqrt{2})^{3}\,\|(h,k)\|^{3} = 2^{3/2}\,\|(h,k)\|^{3}.
Combinando com o passo anterior:
\bigl|\varphi'''(\xi)\bigr| \le L\cdot 2^{3/2}\,\|(h,k)\|^{3}.

Passo 8

Usando E(x,y)=\varphi'''(\xi)/6 do Passo 5, obtemos para todo (x,y)\in B:
|E(x,y)| = \left|\frac{\varphi'''(\xi)}{6}\right| \le \frac{L\cdot 2^{3/2}}{6}\,\|(h,k)\|^{3}.
Definindo
M := \frac{L\cdot 2^{3/2}}{6} > 0,
chegamos à desigualdade desejada:
\left|f(x,y)-P_{2}(x,y)\right| = |E(x,y)| \le M\,\left\|(x,y)-\left(x_{0},y_{0}\right)\right\|^{3},
para todo (x,y)\in B. Isso responde à Pergunta 1 (existe bola B\subset A e M>0 com a desigualdade).

Passo 9

Usamos a desigualdade do Passo 8 para concluir sobre o limite pedido. Dividindo ambos os lados por \left\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\right\|^{2} (para (x,y)\neq(x_{0},y_{0})) obtemos, para (x,y)\in B, (x,y)\neq(x_{0},y_{0}),
\left|\frac{E(x,y)}{\left\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\right\|^{2}}\right| \le M\,\left\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\right\|.
Como a norma \left\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\right\|\to 0 quando (x,y)\to(x_{0},y_{0}), o lado direito tende a 0. Portanto, pelo teorema do confronto,
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})} \frac{E(x,y)}{\left\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\right\|^{2}} = 0.
Isto mostra que o erro E(x,y) é o(\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|^{2}), ou seja, tende a zero mais rapidamente que \|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|^{2}.

Resposta

Existe uma bola aberta B centrada em \left(x_{0},y_{0}\right) com B\subset A e um M>0 tais que, para todo (x,y)\in B,
\left|f(x,y)-P_{2}(x,y)\right| \le M\left\|(x,y)-\left(x_{0},y_{0}\right)\right\|^{3}.
\lim_{(x,y)\to\left(x_{0},y_{0}\right)} \frac{E(x,y)}{\left\|(x,y)-\left(x_{0},y_{0}\right)\right\|^{2}} = 0.

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