Seja f(x, y) de classe C^{3} no aberto A \subset \mathbb{R}^{2} e seja \left(x_{0}, y_{0}\right) um ponto de A (lembre-se de que f de classe C^{3} em A significa que todas as derivadas parciais de ordem 3 são contínuas em A ). Prove que existem uma bola aberta B de centro \left(x_{0}, y_{0}\right), com B \in A, e um número M>0 tais que, para todo (x, y) \in B,
onde E(x, y)=f(x, y)-P_{2}(x, y); isto é, o erro E(x, y) tende a zero mais rapidamente que \left\|(x, y)-\left(x_{0}, y_{0}\right)\right\|^{2}, quando (x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
Informação: f(x,y) é de classe C^{3} num aberto A\subset\mathbb{R}^{2}.
Informação: \left(x_{0},y_{0}\right)\in A.
Informação: P_{2}(x,y) é o polinómio de Taylor de ordem 2 de f em torno de \left(x_{0},y_{0}\right) (ou seja, o polinómio formado pelas derivadas parciais de ordem até 2 avaliadas em \left(x_{0},y_{0}\right)).
Pergunta 1: Provar que existe uma bola aberta B centrada em \left(x_{0},y_{0}\right), com B\subset A, e um número M>0 tais que, para todo (x,y)\in B,
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima. A partir daqui vamos construir a prova passo a passo.
Passo 2
Vamos reduzir o problema de duas variáveis a um problema de uma variável ao considerar a restrição de f à reta que liga \left(x_{0},y_{0}\right) a (x,y). Para isso, fixamos (x,y) e escrevemos
Comentário didático: a ideia é que \varphi(0)=f(x_{0},y_{0}) e \varphi(1)=f(x,y). Aplicando a fórmula de Taylor em uma variável para \varphi em torno de t=0 obtemos uma expansão cuja parte polinomial até segundo grau coincide exatamente com P_{2}(x,y) (isto será verificado). Assim o resto de ordem 3 de \varphi dará o erro entre f(x,y) e P_{2}(x,y).
Passo 3
Verificamos que \varphi é C^{3} em [0,1]. Justificativa: f é C^{3} em A e a curva t\mapsto (x_{0}+th,y_{0}+tk) está contida num pequeno segmento em A se escolhermos (x,y) suficientemente próximo de (x_{0},y_{0}). A composição de funções C^{3} é C^{3}, logo \varphi\in C^{3} em [0,1] (quando (x,y) estiver em uma bola pequena contida em A).
Passo 4
Calculamos as derivadas de \varphi em termos das derivadas parciais de f (aplicando regra da cadeia). Avaliando em t genérico (os pontos aparecem como \bigl(x_{0}+t h,\; y_{0}+t k\bigr)):
Comentário: aparece o termo simétrico 2f_{xy}hk porque ao derivar \varphi' tanto a derivada de f_x h fornece f_{xx}h^2 quanto a derivada de f_y k fornece f_{xy} hk, e o termo simétrico surge somando os dois.
Comentário sobre os coeficientes 1,3,3,1: eles vêm da diferenciação repetida (são os coeficientes multinomiais, análogos aos coeficientes do binômio para a terceira potência).
Passo 5
Aplicamos a fórmula de Taylor com resto na forma de Lagrange para a função \varphi em t=0 até ordem 2. Como \varphi\in C^{3}, existe \xi\in(0,1) (dependente de h,k) tal que
Observação: os termos até ordem 2 acima são exatamente o polinómio de Taylor de ordem 2, P_{2}(x,y), avaliado em (x,y)=(x_{0}+h,y_{0}+k). Logo o erro
E(x,y) := f(x,y)-P_{2}(x,y)
satisfaz
E(x,y) = \frac{\varphi'''(\xi)}{6}
para algum \xi\in(0,1).
Passo 6
Agora vamos obter uma estimativa numérica para |\varphi'''(\xi)| em função de \|(h,k)\|. Como f é C^{3}, todas as derivadas parciais de terceira ordem são contínuas em A. Portanto, podemos escolher uma bola aberta B centrada em \left(x_{0},y_{0}\right) suficientemente pequena tal que a bola fechada \overline{B} (fechamento de B) esteja contida em A. Pela continuidade das derivadas de ordem 3 em \overline{B} (que é compacta), existe um número
L>0
tal que, para todo (u,v)\in\overline{B} e para todas as derivadas parciais de ordem 3,
\bigl|f_{ijk}(u,v)\bigr| \le L
onde i,j,k\in\{x,y\}. (Explicação: a continuidade em conjunto com compacidade dá um supremo finito.)
Como \xi\in(0,1) e a curva t\mapsto(x_{0}+t h,y_{0}+t k) permanece em \overline{B} quando (x,y)\in B, podemos estimar os termos de \varphi'''(\xi) usando a expressão do Passo 4:
para todo (x,y)\in B. Isso responde à Pergunta 1 (existe bola B\subset A e M>0 com a desigualdade).
Passo 9
Usamos a desigualdade do Passo 8 para concluir sobre o limite pedido. Dividindo ambos os lados por \left\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\right\|^{2} (para (x,y)\neq(x_{0},y_{0})) obtemos, para (x,y)\in B, (x,y)\neq(x_{0},y_{0}),