Calcule as seguintes integrais:
\int\left[3 e^{x}-\operatorname{sen}(x)\right] d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\displaystyle \int\left[3 e^{x}-\operatorname{sen}(x)\right]\,dx.
Informações dadas: a integranda é a soma (na verdade diferença) de duas funções, \;3e^{x}\; e \;\operatorname{sen}(x)\;.
O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=3e^{x}-\operatorname{sen}(x). Aqui x é a variável de integração e C será a constante arbitrária de integração.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: para constantes a,b e funções f,g,
\int\bigl(a f(x)+b g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aplicando ao nosso caso:
\int\left[3 e^{x}-\operatorname{sen}(x)\right]\,dx =3\int e^{x}\,dx - \int \operatorname{sen}(x)\,dx.
Isso nos reduz a calcular duas integrais mais simples: \int e^{x}\,dx e \int \operatorname{sen}(x)\,dx.

Passo 3

Integral de \displaystyle e^{x}. Lembrete/razão: a derivada de \displaystyle e^{x} é \displaystyle e^{x}, portanto a primitiva (antiderivada) de \displaystyle e^{x} também é \displaystyle e^{x} (mais uma constante). Assim,
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Na prática, mantemos só uma constante final, então guardamos o resultado \int e^{x}\,dx=e^{x}.

Passo 4

Integral de \displaystyle \operatorname{sen}(x). Lembrete/razão: a derivada de \cos(x) é -\operatorname{sen}(x). Logo, derivando -\cos(x) obtém-se \operatorname{sen}(x). Portanto
\int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x) + C_2,
onde C_2 é constante de integração. Novamente, vamos juntar as constantes no final.

Passo 5

Agora juntamos os resultados usando a linearidade (do Passo 2):
3\int e^{x}\,dx - \int \operatorname{sen}(x)\,dx =3\bigl(e^{x}\bigr) - \bigl(-\cos(x)\bigr) + C,
onde C é a constante geral de integração (combinação de C_1 e C_2). Simplificando,
3e^{x} + \cos(x) + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando \;3e^{x}+\cos(x)\; obtém-se
\frac{d}{dx}\bigl(3e^{x}+\cos(x)\bigr)=3e^{x}-\operatorname{sen}(x),
que é exatamente a integranda inicial. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\;3e^{x}+\cos(x)+C

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