Calcule as seguintes integrais. Para o item a veja que a função sen(m x) cos (n x) é ímpar e a integral tem limites de integração simétrico. Para os demais itens use as identidades trigonométricas:
l sen A cdot sen B=12[cos (A-B)-cos (A+B)] cos A cdot cos B=12[cos (A-B)+cos (A+B)] sen A cdot cos B=12[sen(A-B)+sen(A+B)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular algumas integrais envolvendo funções trigonométricas. Primeiro, para o item a, a função sen(mx) cos(nx) é ímpar e a integral tem limites de integração simétricos. Para os outros itens, vamos precisar usar as identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar produtos de senos e cossenos.

Passo 2

Vamos começar com o item a. Uma função é considerada ímpar se, ao substituir x por -x, o resultado é o inverso da função original. Ou seja, f(-x) = -f(x). No caso de sen(mx) cos(nx):
sen(-mx) cos(-nx) = -sen(mx) cos(nx) = -sen(mx) cos(nx)
Isso confirma que a função é ímpar. Quando integramos uma função ímpar em limites simétricos, como de -a a a, o resultado sempre será zero. Então, para o item a:
integral-a^a sen(mx) cos(nx) , dx = 0

Passo 3

Agora, para os demais itens, precisamos usar as identidades trigonométricas fornecidas para simplificar os produtos de senos e cossenos. Essas identidades transformam produtos trigonômicos em somas ou diferenças de funções trigonométricas, o que facilita a integração.
Por exemplo, se tivermos um produto como sen(A) cdot sen(B), podemos usar a identidade:
sen A cdot sen B = 12[cos(A - B) - cos(A + B)]
Depois de aplicar essas identidades, a integral se transforma em integrais de funções cosseno ou seno, que são mais fáceis de resolver.

Resposta

Para o item a, a integral integral-a^a sen(mx) cos(nx) , dx é igual a 0.

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