Como
f(x)=sumn=1^N an sen(n x)=a1 sen(x)+a2 sen(2 x)+cdots+aN sen(N x)
Então integrando dos dois lados,
integral-pi^pi f(x) d x=a1 integral-pi^pi sen(x) d x+a2 integral-pi^pi sen(2 x) d x+cdots+aN integral-pi^pi sen(N x) d x
Calcule cada integral do lado direito.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular as integrais integral-pi^pisin(nx),dx para cada n=1,2,dots,N. O conteúdo principal aqui é integração de funções seno e a propriedade de paridade (função ímpar).

Passo 2

Sabendo que sin(nx) é uma função ímpar (isto é, sin(-nx)=-sin(nx)), ao integrar em um intervalo simétrico em torno de zero (de -pi a pi) as áreas positiva e negativa se cancelam. Logo, sem nem precisar calcular nada mais, temos

Passo 3

Se quisermos confirmar com a primitiva, note que
integralsin(nx),dx=-1ncos(nx)+C,
então avaliando de -pi a pi
integral-pi^pisin(nx),dx=-1nl[cos(npi)-cos(-npi)r]=-1nl[(-1)^n-(-1)^nr]=0

Resposta

Para todo n=1,2,dots,N, integral-pi^pisin(nx),dx=0.

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