(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=e^2-1, y=e^2 x

Passo 1

Em resumo, temos a curva paramétrica dada por x = e^t - 1 e y = e^2t. O conteúdo é eliminação de parâmetro em curvas e vamos precisar isolar t em função de x para substituí-lo em y.

Passo 2

Da primeira equação, isolamos o parâmetro:
x + 1 = e^t
Aplicando logaritmo natural, obtemos:
t = ln(x + 1)
Note que isso impõe o domínio x > -1.

Passo 3

Substituímos esse valor de t na expressão de y:
y = e^2t = e^2ln(x + 1)
Pela propriedade e^aln b=b^a, resulta
y = (x + 1)^2

Passo 4

A equação cartesiana é, portanto, y = (x + 1)^2, uma parábola com vértice em (-1,0) e concavidade para cima.

Passo 5

Ao esboçar, desenhamos essa parábola e colocamos uma seta indicando a direção em que t aumenta: para tto -infty o ponto está próximo de (-1,0) e, conforme t cresce, o traço vai para a direita e para cima.

Resposta

Equação cartesiana: y = (x + 1)^2. No esboço, a seta aponta da região do vértice (-1,0) para a direita e para cima, seguindo o sentido de aumento de t.

Exercícios relacionados