(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
Em resumo, temos a curva paramétrica dada por
e
. O conteúdo é eliminação de parâmetro em curvas e vamos precisar isolar
em função de
para substituí-lo em
.
Passo 2
Da primeira equação, isolamos o parâmetro:
Aplicando logaritmo natural, obtemos:
Note que isso impõe o domínio
.
Passo 3
Substituímos esse valor de
na expressão de
:
Pela propriedade
, resulta
Passo 4
A equação cartesiana é, portanto,
, uma parábola com vértice em
e concavidade para cima.
Passo 5
Ao esboçar, desenhamos essa parábola e colocamos uma seta indicando a direção em que
aumenta: para
o ponto está próximo de
e, conforme
cresce, o traço vai para a direita e para cima.
Resposta
Equação cartesiana:
. No esboço, a seta aponta da região do vértice
para a direita e para cima, seguindo o sentido de aumento de
.