Ao produto de um certo número pela sua diferença de 3 (i.e., 3 menos o tal número) é somado 4. Qual número deve ser escolhido no intervalo
, para se obter o maior valor possível com as operações descritas?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número que, quando multiplicado pela sua diferença de 3 (ou seja, por
), e depois somamos 4 a esse resultado. Precisamos encontrar qual número, dentro do intervalo
, faz com que essa expressão seja a maior possível.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente funções quadráticas e máximo de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma expressão matemática. Seja
o número que estamos procurando. A expressão dada é:
Aqui,
representa o valor que queremos maximizar.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
:
Rearranjando os termos:
Essa é uma função quadrática da forma
, onde:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza
, usamos a fórmula do vértice da parábola, já que o coeficiente de
é negativo (
), o que indica que a parábola abre para baixo e, portanto, tem um máximo.
A fórmula para o
do vértice é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos verificar se esse valor está dentro do intervalo
. Como
está entre 0 e 4, ele é válido.
Passo 6
Para confirmar que esse é realmente o valor que maximiza
, podemos calcular
substituindo
:
Nenhum outro valor dentro do intervalo
dará um
maior que 6,25.
Resposta
O número que deve ser escolhido no intervalo
para obter o maior valor possível é 1,5.