Ao produto de um certo número pela sua diferença de 3 (i.e., 3 menos o tal número) é somado 4. Qual número deve ser escolhido no intervalo [0,4], para se obter o maior valor possível com as operações descritas?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número que, quando multiplicado pela sua diferença de 3 (ou seja, por ), e depois somamos 4 a esse resultado. Precisamos encontrar qual número, dentro do intervalo , faz com que essa expressão seja a maior possível.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente funções quadráticas e máximo de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma expressão matemática. Seja P = x cdot (3 - x) + 4 o número que estamos procurando. A expressão dada é:
Aqui, representa o valor que queremos maximizar.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão P = x cdot (3 - x) + 4 = 3x - x^2 + 4 :
P = -x^2 + 3x + 4
Rearranjando os termos:
Essa é uma função quadrática da forma , onde:

Passo 4

Para encontrar o valor de x = -b2a que maximiza x = -32 cdot (-1) = 32 = 1,5 , usamos a fórmula do vértice da parábola, já que o coeficiente de é negativo ( ), o que indica que a parábola abre para baixo e, portanto, tem um máximo.
A fórmula para o do vértice é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que encontramos , vamos verificar se esse valor está dentro do intervalo . Como está entre 0 e 4, ele é válido.

Passo 6

Para confirmar que esse é realmente o valor que maximiza P = - (1,5)^2 + 3 cdot 1,5 + 4 = -2,25 + 4,5 + 4 = 6,25 , podemos calcular substituindo :
Nenhum outro valor dentro do intervalo dará um maior que 6,25.

Resposta

O número que deve ser escolhido no intervalo para obter o maior valor possível é 1,5.

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