Calcule as seguintes integrais iteradas.
integral0^1 integral0^1(e^x+e^y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^1l(e^x+e^yr),dx,dy
Aqui o conteúdo é integração dupla em retângulo e vamos usar a propriedade de separação de variáveis (Teorema de Fubini) para decompor a integral.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral e escrevemos
integral0^1integral0^1l(e^x+e^yr),dx,dy = integral0^1integral0^1e^x,dx,dy + integral0^1integral0^1e^y,dx,dy

Passo 3

Calculamos a primeira parcela
integral0^1integral0^1e^x,dx,dy =integral0^1l[integral0^1e^x,dxr]dy
A integral interna em x é
integral0^1e^x,dx =l[e^xr]0^1 =e-1
Como isso não depende de y, a integral em y apenas multiplica por 1, ficando
integral0^1(e-1),dy =(e-1)cdot1 =e-1

Passo 4

Calculamos a segunda parcela
integral0^1integral0^1e^y,dx,dy =integral0^1l[integral0^1e^y,dxr]dy
Agora a integral interna em x é trivial, pois e^y é constante em x:
integral0^1e^y,dx =e^ycdot1 =e^y
Então
integral0^1e^y,dy =l[e^yr]0^1 =e-1

Passo 5

Somando as duas parcelas obtidas:
(e-1)+(e-1) =2(e-1)

Resposta

2(e-1)

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