Faça o esboço do gráfico das seguintes funções
x^2 y-2 x^2-y-2=0

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da curva implícita
x^2y ;-;2x^2;-;y;-;2=0
O conteúdo aqui é redução a uma função racional y=f(x), identificação de assíntotas e estudo do comportamento dos ramos.

Passo 2

Isolamos y em função de x.
Agrupando os termos que contêm y:
x^2y - y = 2x^2 + 2 Longrightarrow y,(x^2-1)=2,(x^2+1)
Logo,
y = 2,(x^2+1)x^2-1

Passo 3

Determinamos as assíntotas.
1. Assíntotas verticais: zeros do denominador x^2-1=0, ou seja x=pm1.
2. Assíntota horizontal:
limxtopminftyy =limxtopminfty2,(x^2+1)x^2-1 =2

Passo 4

Intercepto e simetria.
1. Intercepto em x=0:
y(0)=2,(0+1)0-1=-2,
logo o ponto (0,-2).
2. A função depende de x^2, é par, logo simétrica em relação ao eixo y.

Passo 5

Sinal e limites laterais junto às assíntotas.
1. Para |x|>1, x^2-1>0 e x^2+1>0, então y>2. Ao nos aproximarmos de xto1^+ (ou -1^-) o denominador tende a zero positivo, logo yto+infty.
2. Para |x|<1, x^2-1<0 e x^2+1>0, então y<0. Ao nos aproximarmos de xto1^- (ou -1^+) o denominador tende a zero negativo, logo yto-infty.

Passo 6

Esboço do gráfico.
  • Desenhe as retas tracejadas , (assíntotas verticais) e (assíntota horizontal).
  • Entre e , a curva passa por e desce para em ambas as bordas .
  • Para e , há dois ramos acima de , que partem de nas assíntotas verticais e se aproximam de quando .
Segue um esboço ASCII simplificado:
     y
   \(6+\)                       . .
     |                      .   .
   \(4+\)                     .     .
     |                    .       .
   \(2+\)-----.-------------\(\cdot\)---------\(\cdot\)---->  
     |      \           /|\       /
   \(0+\)       \         / | \     /
     |        \       /  |  \   /
  -\(2+\)    *    \     /   |   \ /
     | \(0\),-\(2\)   \   /    |    X
  -\(4+\)           \ /     |     \
     |           / \     |      \
     \(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)-- x
       -\(3\) -\(2\) -\(10123\cdot=\) horizont. assíntota y\(=2\)  
    | \(=\) vert. assíntotas x\(=\pm 1\)  
    * \(=\) intercepto \((0,-2)\)

Resposta

Esboço conforme descrito acima.

Exercícios relacionados