Faça o esboço do gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da curva implícita
O conteúdo aqui é redução a uma função racional
, identificação de assíntotas e estudo do comportamento dos ramos.
Passo 2
Isolamos
em função de
.
Agrupando os termos que contêm :
Agrupando os termos que contêm
Logo,
Passo 3
Determinamos as assíntotas.
. Assíntotas verticais: zeros do denominador
, ou seja
.
. Assíntota horizontal:
Passo 4
Intercepto e simetria.
. Intercepto em
:
logo o ponto
.
. A função depende de
, é par, logo simétrica em relação ao eixo
.
Passo 5
Sinal e limites laterais junto às assíntotas.
. Para
,
e
, então
. Ao nos aproximarmos de
(ou
) o denominador tende a zero positivo, logo
.
. Para
,
e
, então
. Ao nos aproximarmos de
(ou
) o denominador tende a zero negativo, logo
.
Passo 6
Esboço do gráfico.
- Desenhe as retas tracejadas
, (assíntotas verticais) e (assíntota horizontal). - Entre
e , a curva passa por e desce para em ambas as bordas . - Para
e , há dois ramos acima de , que partem de nas assíntotas verticais e se aproximam de quando .
Segue um esboço ASCII simplificado:
y
\(6+\) . .
| . .
\(4+\) . .
| . .
\(2+\)-----.-------------\(\cdot\)---------\(\cdot\)---->
| \ /|\ /
\(0+\) \ / | \ /
| \ / | \ /
-\(2+\) * \ / | \ /
| \(0\),-\(2\) \ / | X
-\(4+\) \ / | \
| / \ | \
\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)--\(+\)-- x
-\(3\) -\(2\) -\(10123\cdot=\) horizont. assíntota y\(=2\)
| \(=\) vert. assíntotas x\(=\pm 1\)
* \(=\) intercepto \((0,-2)\)
Resposta
Esboço conforme descrito acima.