Calcule os seguintes limites:
lim x -infty[raiz[3]x^3+x-raiz[3]x^3+1]

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto -inftyl[raiz[3]x^3+x-raiz[3]x^3+1r].
Aqui temos a forma “ infty-infty”, típica de limites de raízes de mesma ordem, e vamos usar a identidade de diferença de raízes cúbicas para resolver.

Passo 2

Sejam u = x^3+x e v = x^3+1. A identidade de diferença de raízes cúbicas diz que
raiz[3]u-raiz[3]v = u-vraiz[3]u^2+raiz[3]u,v+raiz[3]v^2
Aqui
u-v = (x^3+x)-(x^3+1)=x-1

Passo 3

Para xto -infty, temos
raiz[3]u^2simraiz[3](x^3)^2=raiz[3]x^6=x^2, raiz[3]u,vsim x^2, raiz[3]v^2sim x^2
Logo o denominador fica assintoticamente
raiz[3]u^2+raiz[3]u,v+raiz[3]v^2sim 3,x^2
Portanto a diferença vale
raiz[3]x^3+x-raiz[3]x^3+1 sim x-13,x^2 =13x-13x^2

Passo 4

Como xto -infty, temos tfrac13xto 0 e tfrac13x^2to 0. Logo
limxto -inftyl[raiz[3]x^3+x-raiz[3]x^3+1r]=0

Resposta

0

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