Calcule as seguintes integrais iteradas.
integral0^1 integral0^1(x yraizx^2+y^2+1) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
I = integral0^1integral0^1x,yraizx^2+y^2+1,dy,dx
O conteúdo envolve troca de ordem de integração (aqui já dada), extração de constantes e uso de substituição para integrar expressões do tipo integral y/raizx^2+y^2+1,dy.

Passo 2

Primeiro focamos na integral interna em y:
integral0^1x,yraizx^2+y^2+1,dy = xintegral0^1yraizx^2+y^2+1,dy
Fazemos a substituição
u = x^2+y^2+1, du = 2y,dyLongrightarrow y,dy=du2,
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integralyraizx^2+y^2+1,dy = integral12u^-tfrac12,du = u^tfrac12 = raizx^2+y^2+1
A integral interna torna-se então
xl[raizx^2+y^2+1r]y=0^y=1 = xl(raizx^2+2-raizx^2+1r)

Passo 3

Substituindo esse resultado em I, obtemos
I = integral0^1xl(raizx^2+2-raizx^2+1r),dx = integral0^1xraizx^2+2,dx ;-;integral0^1xraizx^2+1,dx

Passo 4

Definimos a integral genérica
J(a)=integral0^1xraizx^2+a,dx
Usamos a substituição
t = x^2+a, dt=2x,dxLongrightarrow x,dx=dt2,
com t indo de a (quando x=0) até a+1 (quando x=1). Assim
J(a) =12integralt=a^t=a+1t^tfrac12,dt =12cdot23l[t^tfrac32r]a^a+1 =13l((a+1)^tfrac32-a^tfrac32r)

Passo 5

Aplicando a=2 e a=1 em J(a) e fazendo a diferença, temos
I =J(2)-J(1) =13l(3^tfrac32-2^tfrac32r) ;-;13l(2^tfrac32-1^tfrac32r) =13l(3raiz3-2raiz2-2raiz2+1r) =13l(3raiz3+1-4raiz2r)

Resposta

boxed,3raiz3+1-4raiz23,

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