Calcule as seguintes integrais iteradas:
$\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left(x y-z^{3}\right) d z d y d x ;

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada integral-1^1 integral0^2 integral0^1(x y - z^3) , dz , dy , dx.
Matéria envolvida: Cálculo Integral, mais especificamente integrais iteradas.
O que vamos precisar: Calcular integrais múltiplas passo a passo, integrando uma variável de cada vez, começando pela mais interna.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $.
Temos a função $ f(x, y, z) = x y - z^{3} $. Vamos integrar essa função de $ z = 0 $ a $ z = 1 $:
z
Para integrar, separamos os termos:
f(x, y, z) = x y - z^3
Como $ x y $ é constante em relação a $ z $, a primeira integral fica:
z = 0
Para a segunda integral:
z = 1
Portanto, a integral em relação a $ z $ é:
integral0^1 ( x y - z^3 ) dz

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a $ y $, de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
y
Separando os termos:
y = 0
Calculando cada integral:
Para $ x \int_{0}^{2} y , dy $:
y = 2
Para $ \frac{1}{4} \int_{0}^{2} dy $:
integral0^2 ( x y - 14 ) dy
Então, a integral em relação a $ y $ é:
x integral0^2 y , dy - 14 integral0^2 dy

Passo 4

Finalmente, vamos integrar o resultado obtido em relação a $ x $, de $ x = -1 $ a $ x = 1 $:
x
Separando os termos:
x = -1
Calculando cada integral:
Para $ 2 \int_{-1}^{1} x , dx $:
x = 1
Para $ \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} dx $:
integral-1^1 ( 2 x - 12 ) dx
Portanto, a integral em relação a $ x $ é:
2 integral-1^1 x , dx - 12 integral-1^1 dx

Resposta

O valor da integral iterada é -1.

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