Calcule as seguintes integrais iteradas:
$\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left(x y-z^{3}\right) d z d y d x ;
$\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left(x y-z^{3}\right) d z d y d x ;
Passo 1
Vamos resolver a integral iterada
.
Matéria envolvida: Cálculo Integral, mais especificamente integrais iteradas.
O que vamos precisar: Calcular integrais múltiplas passo a passo, integrando uma variável de cada vez, começando pela mais interna.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $.
Temos a função $ f(x, y, z) = x y - z^{3} $. Vamos integrar essa função de $ z = 0 $ a $ z = 1 $:
Para integrar, separamos os termos:
Como $ x y $ é constante em relação a $ z $, a primeira integral fica:
Para a segunda integral:
Portanto, a integral em relação a $ z $ é:
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a $ y $, de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
Separando os termos:
Calculando cada integral:
Para $ x \int_{0}^{2} y , dy $:
Para $ \frac{1}{4} \int_{0}^{2} dy $:
Então, a integral em relação a $ y $ é:
Passo 4
Finalmente, vamos integrar o resultado obtido em relação a $ x $, de $ x = -1 $ a $ x = 1 $:
Separando os termos:
Calculando cada integral:
Para $ 2 \int_{-1}^{1} x , dx $:
Para $ \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} dx $:
Portanto, a integral em relação a $ x $ é:
Resposta
O valor da integral iterada é
.