Diga, justificando, se a seguinte função
tem limite no ponto
Passo 1
Então, temos a função $ f(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} $, definida para todos os pontos no plano
, exceto no ponto
. O objetivo aqui é descobrir se essa função tem um limite quando o ponto
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e entender como funções podem ter comportamentos diferentes dependendo da direção de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar o limite da função $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
ao longo de diferentes linhas retas que passam pela origem. Um caminho simples é escolher $ y = mx $, onde $ m $ é a inclinação da linha.
Substituindo $ y = mx $ na função:
Agora, ao fazer $ x $ se aproximar de 0, percebemos que $ f(x, mx) $ tende a $ \frac{m}{1 + m^{2}} $, que depende do valor de $ m $. Isso significa que o limite da função depende da inclinação da linha que escolhemos para nos aproximarmos de
.
Passo 3
Para confirmar que o limite não existe de fato, vamos verificar com valores específicos de $ m $:
- Se $ m = 1 $, então:
- Se $ m = -1 $, então:
Vemos que, dependendo do valor de $ m $, o limite da função pode ser $ \frac{1}{2} $, $ -\frac{1}{2} $, ou qualquer outro valor entre
e
. Isso mostra que o limite não é o mesmo em todas as direções de aproximação.
Passo 4
Outra maneira de verificar isso é utilizando as coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Substituindo na função:
Simplificando:
Percebemos que, à medida que $ r $ tende a 0, o valor de $ f(r, \theta) $ permanece $ \cos\theta \sin\theta $, que depende de $ \theta $. Isso confirma novamente que o limite varia de acordo com o ângulo de aproximação.
Resposta
O limite da função $ f(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} $ quando
se aproxima de
não existe, pois o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto
.