Diga, justificando, se a seguinte função
f(x, y)=x yx^2+z y^2, definida em D=R^2 backslash(0,0)
tem limite no ponto (0,0)

Passo 1

Então, temos a função $ f(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} $, definida para todos os pontos no plano f(x, y) = xyx^2 + y^2 , exceto no ponto R^2. O objetivo aqui é descobrir se essa função tem um limite quando o ponto (0,0) se aproxima de (x, y). Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos. Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e entender como funções podem ter comportamentos diferentes dependendo da direção de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar o limite da função $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y) ao longo de diferentes linhas retas que passam pela origem. Um caminho simples é escolher $ y = mx $, onde $ m $ é a inclinação da linha.
Substituindo $ y = mx $ na função:
(0,0)
Agora, ao fazer $ x $ se aproximar de 0, percebemos que $ f(x, mx) $ tende a $ \frac{m}{1 + m^{2}} $, que depende do valor de $ m $. Isso significa que o limite da função depende da inclinação da linha que escolhemos para nos aproximarmos de y = mx .

Passo 3

Para confirmar que o limite não existe de fato, vamos verificar com valores específicos de $ m $:
  • Se $ m = 1 $, então:
m
  • Se $ m = -1 $, então:
m = 1
Vemos que, dependendo do valor de $ m $, o limite da função pode ser $ \frac{1}{2} $, $ -\frac{1}{2} $, ou qualquer outro valor entre f(x, x) = 11 + 1^2 = 12 e m = -1 . Isso mostra que o limite não é o mesmo em todas as direções de aproximação.

Passo 4

Outra maneira de verificar isso é utilizando as coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Substituindo na função:
x = r costheta
Simplificando:
y = r sintheta
Percebemos que, à medida que $ r $ tende a 0, o valor de $ f(r, \theta) $ permanece $ \cos\theta \sin\theta $, que depende de $ \theta $. Isso confirma novamente que o limite varia de acordo com o ângulo de aproximação.

Resposta

O limite da função $ f(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} $ quando f(x, y) = xyx^2 + y^2 se aproxima de (x, y) não existe, pois o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto (0,0).

Exercícios relacionados