Calcule as seguintes integrais iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}x\,\sin y\,dy\,dx.
O conteúdo é integração dupla de uma função produto x\sin y. Como a variável x não depende de y, podemos usar o Teorema de Fubini e separar a integral em produto de integrais simples.

Passo 2

Calcular primeiro a integral interna em relação a y:
\int_{0}^{\pi}x\,\sin y\,dy = x\int_{0}^{\pi}\sin y\,dy = x\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\pi} = x\bigl(-\cos\pi+\cos0\bigr) = x\bigl(-(-1)+1\bigr) = 2x.

Passo 3

Agora integra-se em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}2x\,dx = 2\int_{0}^{1}x\,dx = 2\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} = 2\cdot\tfrac{1}{2} = 1.

Resposta

O valor da integral é 1.

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