Calcule as seguintes integrais iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} x\,y \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x
Aplicaremos integração em duas etapas: primeiro em y (tratando x como constante) e depois em x.

Passo 2

Calculemos a integral interna em y:
\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} x\,y\,\mathrm{d}y = x \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} y\,\mathrm{d}y = x \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} = x\!\left(\frac{(\sqrt{x})^{2}}{2}-\frac{(x^{2})^{2}}{2}\right) = x\!\left(\frac{x}{2}-\frac{x^{4}}{2}\right) = \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{2}.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{5}}{2}\Bigr)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{5})\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{6}\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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