Determine o trabalho realizado pelo campo de força \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y)=x \mathbf{i}+(y+x) \mathbf{j} em um objeto que se move sobre um arco de cicloide (t)=(t-\sin t, 1-\cos t), 0 \leq t \leq 2\pi.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força \overrightarrow{F}(x,y)=x\,\mathbf{i}+(y+x)\,\mathbf{j} ao longo da curva dada por
\mathbf{r}(t)=\bigl(t-\sin t,\;1-\cos t\bigr), \quad 0\le t\le2\pi.
O conteúdo usado será o cálculo de linha de um campo não conservativo, ou seja,
W=\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi} \overrightarrow{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Vamos achar \mathbf{r}'(t) e \overrightarrow{F}(\mathbf{r}(t)).
\mathbf{r}'(t) =\bigl(1-\cos t,\;\sin t\bigr).
Como x(t)=t-\sin t e y(t)=1-\cos t, temos
\overrightarrow{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl(x(t),\;y(t)+x(t)\bigr) =\Bigl(t-\sin t,\;1-\cos t + t-\sin t\Bigr).

Passo 3

O produto escalar é
\overrightarrow{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =(t-\sin t)(1-\cos t) +\bigl(t+1-\cos t-\sin t\bigr)\sin t.
Fazendo as distribuições e coletando termos, obtém-se
(t-\sin t)(1-\cos t)+(t+1-\cos t-\sin t)\sin t =t\bigl(1-\cos t+\sin t\bigr)-\sin^2 t.
Logo
W=\int_{0}^{2\pi}\Bigl[t\bigl(1-\cos t+\sin t\bigr)-\sin^2 t\Bigr]dt.

Passo 4

Separamos a integral em quatro partes:
W =\int_{0}^{2\pi}t\,dt -\int_{0}^{2\pi}t\cos t\,dt +\int_{0}^{2\pi}t\sin t\,dt -\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt.

Passo 5

Calculamos cada pedaço:
\int_{0}^{2\pi}t\,dt =\Bigl[\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi} =2\pi^2.
\int_{0}^{2\pi}t\cos t\,dt \quad\text{(por partes: \(u=t\), \(dv=\cos t\,dt\))}
\int t\cos t\,dt =t\sin t-\int\sin t\,dt =t\sin t+\cos t \quad\Longrightarrow\quad \Bigl[t\sin t+\cos t\Bigr]_{0}^{2\pi}=0.
\int_{0}^{2\pi}t\sin t\,dt \quad\text{(por partes: \(u=t\), \(dv=\sin t\,dt\))}
\int t\sin t\,dt =-\,t\cos t+\int\cos t\,dt =-\,t\cos t+\sin t \quad\Longrightarrow\quad \Bigl[-t\cos t+\sin t\Bigr]_{0}^{2\pi}=-2\pi.
\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt =\pi \quad\text{(pois a média de \(\sin^2\) é \(1/2\) no período).}ééí

Passo 6

Somando tudo:
W =2\pi^2 - 0 +(-2\pi) - \pi =2\pi^2 -3\pi.

Resposta

O trabalho realizado é
W=2\pi^2-3\pi.

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