Nos itens a seguir, decida qual técnica usar e depois calcule a integral.
integral cos ^3(x) sen(x)(9-cos ^2(x))^52 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos^3(x),sin(x)l(9-cos^2(x)r)^5/2,dx. É uma integral de função trigonométrica com potência no denominador, e vamos usar a técnica de substituição para simplificar.

Passo 2

Escolhemos a primeira substituição u=cos(x). Então du=-sin(x),dx, ou seja, sin(x),dx=-du. Isso elimina o sin(x),dx do numerador.
Reescrevendo a integral em termos de u temos
integral cos^3(x),sin(x)(9-cos^2(x))^5/2,dx = -integral u^3(9-u^2)^5/2,du

Passo 3

Para resolver -integral u^3(9-u^2)^-5/2du, fazemos uma segunda substituição t=9-u^2. Aí dt=-2u,du, ou seja, u,du=-tfrac12,dt. Note que u^2=9-t.
Substituindo na integral:
-integral u^3(9-u^2)^5/2,du = -integral u^2cdot u,dut^5/2 = -integral (9-t)l(-tfrac12,dtr)t^5/2 = tfrac12integral 9-tt^5/2,dt

Passo 4

Agora separamos em duas integrais:
tfrac12integral l(9t^-5/2-t^-3/2r)dt = tfrac12l[9integral t^-5/2dt - integral t^-3/2dtr]

Passo 5

Usando as fórmulas integral t^ndt = t^n+1/(n+1):
integral t^-5/2dt = -tfrac23t^-3/2, integral t^-3/2dt = -2t^-1/2

Passo 6

Substituindo de volta e multiplicando por tfrac12:
tfrac12l[9l(-tfrac23t^-3/2r)-l(-2t^-1/2r)r] = -3t^-3/2 + t^-1/2 + C

Passo 7

Finalmente, voltamos às variáveis originais com t=9-u^2=9-cos^2(x). A resposta é
t^-1/2-3t^-3/2+C = 1raiz9-cos^2(x) - 3(9-cos^2(x))^3/2 + C

Resposta

1raiz9-cos^2(x) - 3(9-cos^2(x))^3/2 + C

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