Calcule as seguintes integrais iteradas:
a)
integral1^2 integral1-2 x^-1(2 y-x) d y d x
b) integral0^1 integraly^raizy x y^2 d x d y
c) integral0^2 integraly^2 y y x d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais iteradas, envolvendo apenas integrais de polinômios. O conteúdo aqui é usar o Teorema Fundamental do Cálculo: primeiro integrar em relação à variável interna, obter uma função da variável externa, e depois integrar essa função.

Passo 2

Vamos a (a):
integral1^2!integral1-2x^-1(2y - x),dy,dx
Inner:
integral(2y - x),dy = y^2 - x,y
Avalia de y=1-2x até y=-1:
l[,y^2 - x,yr]1-2x^-1 = l(1 + xr) - l((1-2x)^2 - x(1-2x)r) =6x -6x^2
Logo a integral externa é
integral1^2(6x -6x^2),dx = l[3x^2 -2x^3r]1^2 = l(12-16r)-l(3-2r) =-4-1 =-5

Passo 3

Agora (b):
integral0^1!integraly^raizyx,y^2,dx,dy
Inner:
integral x,y^2,dx = y^2x^22,
avaliando de x=y até x=raizy:
y^2l(y2-y^22r) =y^3(1-y)2
Então
integral0^1y^3(1-y)2,dy =12integral0^1(y^3-y^4),dy =12l[y^44-y^55r]0^1 =12l(14-15r) =140

Passo 4

Por fim (c):
integral0^2!integraly^2yy,x,dx,dy
Inner:
integral x,dx = x^22,
logo
yx^22|x=y^x=2y =y4y^2 - y^22 =3y^32
Agora
integral0^23y^32,dy =32cdoty^44|0^2 =38cdot16 =6

Resposta

a) -5
b) tfrac140
c) 6

Exercícios relacionados