Questão 4. O comprimento do arco da curva sigma(t)=(2 cos t, 1+2 sen t) ligando os pontos (raiz2, 1+raiz2) e (0,3) vale:
2 pi
(b) 1
(c) -pi4
(d) 3
(e) pi2

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
sigma(t) = l(2cos t,;1+2sin tr)
e pede o comprimento de arco entre os pontos l(raiz2,,1+raiz2r) e (0,3). O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica, que se calcula por
L = integralt1^t2 l|sigma'(t)r|,dt

Passo 2

Precisamos achar os valores de t que geram os pontos dados. Para l(raiz2,,1+raiz2r) vale
2cos t = raiz2, 1+2sin t = 1+raiz2
Logo cos t = tfracraiz22 e sin t=tfracraiz22, o que dá
t1 = pi4
Para (0,3) temos
2cos t = 0, 1+2sin t = 3
Logo cos t=0 e sin t=1, o que dá
t2 = pi2

Passo 3

Derivamos sigma(t):
sigma'(t) = l(-2sin t,;2cos tr)
O módulo é
l|sigma'(t)r| = raiz(-2sin t)^2 + (2cos t)^2 = raiz4sin^2 t + 4cos^2 t = 2

Passo 4

O comprimento de arco é
L = integralt1^t2 2,dt = 2l(t2 - t1r) = 2l(pi2 - pi4r) = 2cdotpi4 = pi2

Resposta

pi2 (alternativa (e))

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