Questão 5. Uma expressão que calcula a área da região simultaneamente interior a ambas as curvas polares r(&theta)=cos theta e r(&theta)=sen theta é
a) integral0^pi / 2(cos theta-sen theta) d theta
b) integral0^pi / 4 cos ^2 theta d theta
c) 12 integral0^pi / 2(cos ^2 theta-sen^2 theta) d theta
d) integral0^pi / 4 sen^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum a ambas as curvas polares
r = costheta
e
r = sintheta
Como a área em coordenadas polares é dada por
A = integral 12,r^2,dtheta,
precisamos achar (1) o intervalo de theta em que as duas curvas se sobrepõem e (2) qual é o valor de r que fica dentro de ambas (isto é, o mínimo entre costheta e sintheta).

Passo 2

Achemos primeiro o ângulo de interseção, resolvendo
costheta = sintheta Longrightarrow tantheta = 1 Longrightarrow theta = tfracpi4

Passo 3

No primeiro quadrante, para thetain[0,tfracpi4], temos sintheta<=costheta, ou seja, a curva mais “interna” é r=sintheta. Fora desse intervalo (até pi/2) uma delas seria negativa ou maior, mas a interseção comum fica só em [0,tfracpi4].

Passo 4

Portanto, para cada thetain[0,tfracpi4] o raio máximo que cabe nas duas curvas é
rmax = sintheta,
e a área comum vale
A = integral0^pi4 12,l(sinthetar)^2 ,dtheta

Passo 5

Entre as alternativas apresentadas, a única que usa sin^2theta com limites de 0 a tfracpi4 é a letra (d).

Resposta

d) integral0^pi/4 sin^2theta ,dtheta

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